【３次方程式の解と係数の関係】

質問

3次方程式x^3-2^2+3x-4=0の3つの解を
３つの複素数の範囲で考え、それらをα、β、γとする。
このとき、α^4＋β^4＋γ^4の値とα^5＋β^5＋γ^5の値は？

解けそうで解けなくて、悩んでます(><)
解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いします。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

書き込みミス。

x^3-2^2+3x-4=0　から　x^3＝2x^2-3x＋4
よって、x^4＝x^3*x＝2x^3-3x＾2＋4x=2(2x^2-3x＋4)-3x＾2＋4x=x＾2-2x＋8
又、x^5＝x^4*x＝x^3-2x＾2＋8x=(2x^2-3x＋4)-2x＾2＋8x=5x＋4
これは　α、β、γの全てにいえるから
・α^4＋β^4＋γ^4＝(α＾2＋β＾2＋γ＾2)-2(α＋β＋γ)＋8×3
・α^5＋β^5＋γ^5＝5(α＋β＋γ)＋4×3

これに解と係数から　α＋β＋γ＝2、αβ＋βγ＋γα＝3　を使うだけ。
α＾2＋β＾2＋γ＾2　の計算はできるだろう。

お礼

ありがとうございました！

すっきりしました^^*

回答No.3

mister_moonlight

次数が大きい時は、次数を下げる。それが定石。

x^3-2^2+3x-4=0　から　x^3＝2x^2-3x＋4
よって、x^4＝x^3*x＝2x^3-3x＾2＋4x=2(2x^2-3x＋4)-3x＾2＋4x=x＾2-2x＋8
又、x^5＝x^4*x＝x^3-2x＾2＋8x=(2x^2-3x＋4)-2x＾2＋8x=5x＋4
これは　α、β、γの全てにいえるから
・α^4＋β^4＋γ^5＝5(α＋β＋γ)＋4×3
これに解と係数を使うだけ。

(注)次数を下げる方法は他にもある。

x^4とx^5を　x^3-2^2+3x-4　で割ると次の恒等式が得られる。
x^4＝(x+2)*(x^3-2^2+3x-4)＋x＾2-2x＋8
x^5＝(x＾2+2x+1)*(x^3-2^2+3x-4)＋5x＋4
x^3-2^2+3x-4＝0から　x^4＝x＾2-2x＋8、x^5＝5x＋4

回答No.2

spring135

α、β、γはタイプしにくいのでa,b,cとします。

解と係数の関係より

a+b+c=2
ab+bc+ca=3
abc=4

予備

a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=4-6=-2

これがものすごく不思議です。

複素数としてありうるのでしょう。

a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=9-2*4*2=-7

a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^3-3abc)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
=2(-2-3)+3*4=2

解答

a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
=(-2)^2-2*(-7)=4-14=18

(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5+a^3(b^2+c^2)+b^3(a^2+c^2)+c^3(a^2+b^2)

a^5+b^5+c^5=(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)-[a^3(b^2+c^2)+b^3(a^2+c^2)+c^3(a^2+b^2)]
=2*(-2)-[a^2b^2(a+b)+b^2c^2(b+c)+c^2a^2(c+a)]
=-4-[a^2b^2(2-c)+b^2c^2(2-a)+c^2a^2(2-b)]
=-4-[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-abc(ab+bc+ca)]
=-4-[2(-7)-4*3]
=22

回答No.1

spring135

>x^3-2^2+3x-4=0はミスタイプ

x^3-2x^2+3x-4=0または
x^3-x^2+3x-4=0?

補足

ご指摘ありがとうございます(><)

x^3-2x^2+3x-4=0で正しいです^^*