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二次方程式の解の配置について

二次方程式x^2+(a+2)x-a+1=0について (1)解の一つが-2≦x≦0の範囲にあり、他の解がx<-2またはx>0の範囲にあるような定数aの値の範囲を求めよ (2)二つの解のうち少なくとも1つが-2≦x≦0の範囲に在るような定数aのとりうる値の範囲を求めよ という問題の解説お願いします…

noname#150695
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 x^2+(a+2)x-a+1=0  (x+1)^2=a(1-x) y1=(x+1)^2 と y2=a(1-x) の交点のx座標が2次方程式の解であることから グラフを使い図的に解けば簡単です。 y1,y2のグラフを図に示す。 y2のグラフは定点(1,0)を通り、aを変化させると定点(1,0)を中心に傾きが変わる直線(定点(0,1)を中心に回転する直線)となります。 (1) 左の(1)の図からy1とy2の交点xの一つが-2≦x≦0の範囲にあり、他の解がx<-2またはx>0の範囲にあるような定数aの値の範囲は、図から  a=1/3の時は2交点のx座標とも-2≦x≦0の範囲に含まれるので除外されます。  a=1の時はx=0とx=-3で交わりますので-2≦x≦0の範囲に1つのみで含まれる。  1/3<a<1の時1交点が-2≦x≦0の範囲にあり、他の交点がx<-2の範囲にあります。 つまり、求めるaの範囲は  1/3<a≦1 と求まります。 (2) 右の(2)の図から、y2のaを変化させた時、交点のx座標のうち少なくとも1つが-2≦x≦0の範囲に在るような定数aの範囲は、図から  0≦a≦1 と求まります。

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質問者からのお礼

大体わかりました ただ、 a=1/3の時は2交点のx座標とも-2≦x≦0の範囲に含まれるので除外されます。  a=1の時はx=0とx=-3で交わりますので-2≦x≦0の範囲に1つのみで含まれる。 で、いきなり1/3と1がでてくるのはなぜですか?

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  • 回答No.4

こんな簡単な問題をわざわざ難しく解く必要もない。面倒な場合わけも不要で、一挙に解決する。 2の解をα、βとすると、解と係数から α+β=-a-2、αβ=-a+1 よって αβ-(α+β)=3 → (α-1)*(β-1)=4 ‥‥(1) 双曲線:(1)をαβ平面上に図示して、直線:β=-α-a-2を動かす。 >(1)解の一つが-2≦x≦0の範囲にあり、他の解がx<-2またはx>0の範囲にあるような定数aの値の範囲を求めよ -2≦α≦0で β<-2 または β>0の範囲にあるような定数aの値の範囲を求めよるだけ。図から読み取ればよい。 >(2)二つの解のうち少なくとも1つが-2≦x≦0の範囲に在るような定数aのとりうる値の範囲を求めよ これも考え方は同じ。

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質問者からのお礼

解説が難しいのですが… 双曲線:(1)をαβ平面上に図示して、直線:β=-α-a-2を動かす。 (1)のどこから双曲線と直線に分かれたのですか? また、β=-α-a-2は不定数が2つもあるのに動かすってめちゃめちゃ範囲がありそうなんですが…

  • 回答No.3
  • info22_
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#1です。 A#1の問題(1)についての補足質問について >ただ、 a=1/3の時は2交点のx座標とも-2≦x≦0の範囲に含まれるので除外されます。  a=1の時はx=0とx=-3で交わりますので-2≦x≦0の範囲に1つのみで含まれる。 >で、いきなり1/3と1がでてくるのはなぜですか? A#1に書いたように >>y2のグラフは定点(1,0)を通り、aを変化させると定点(1,0)を中心に傾きが変わる直線(定点(0,1)を中心に回転する直線)となります。 と書きました。 これと >解の一つが-2≦x≦0の範囲 … にあるような定数a のy2の傾き-aの条件を組み合わせて考えれば -2≦x≦0の範囲にy1とy2の交点が存在するy2の傾き-aの境となる傾きが  -a=-1と-a=-1/3 つまり  a=1とa=1/3 であることがわかりませんか? 境界となる場合のaについては、問題の求める条件 >解の一つが-2≦x≦0の範囲にあり、他の解がx<-2またはx>0の範囲にあるような定数a を満たすかを正確にチェックしてやり、求めるaの範囲の不等号に等号が入るか、入らないか確認した方が良いでしょう。

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質問者からのお礼

確かにグラフを書いたらなんとなく分かるような気がしました ありがとうございます

  • 回答No.2

>(1)解の一つが -2≦x≦0 の範囲にあり、他の解が x<-2 > または x>0 の範囲にあるような定数 a の値の範囲を求めよ 二次方程式 x^2+(a+2)x-a+1=0 の解は, x=(1/2)[-(a+2)±√(a(a+8))] ・・・・・(1) です.また,a について,解くと, a=(1+x)^2/(1-x) ・・・・・(2) です.この(1)と(2)を見ながら,考えます. まず,(1)について, -2≦x≦0 のときは,(2)により,a が (1/3)≦a≦1 であり, x<-2 のときは,例えば,x=-4 で,a=1.8 となるので, (1/3)≦a≦1 と矛盾する. また,x>0 のときは,x=1で, a は不定(決定できない)かつ, x>1 で a<0 となるので,やはり, (1/3)≦a≦1 とは矛盾する. したがって,(1) の設問には,矛盾があるので,(1) の設問を満たす a の範囲は決められない. >(2)二つの解のうち少なくとも1つが -2≦x≦0 の範囲に在るような定数 a のとりうる値の範囲を求めよ 次に,この (2) について, -2≦x≦0 のときは,(2)により,a が (1/3)≦a≦1 です. 因みに,二次方程式 x^2+(a+2)x-a+1=0 は,次の事が言えます. (i): -8<a<0 で,実数解が無く,複素数解となります. (ii): a=0 で x=-1 のみ. (iii): 0<a で,2つの実数があります. (iv): a=-8 で x=3 のみ. (v): 0<-8 で,2つの実数があります. (vi): x=1 で a は不定(定まらない). (vii): x<1 で,0<a. (viii): x=-1 で a=0. (iX): 1<x で,a<0. 以上です. また,下記の WolframAlpha サイトで,二次方程式 x^2+(a+2)x-a+1=0 のグラフを描いて見て下さい. WolframAlpha Computational Knowledge Engine http://www.wolframalpha.com/ で,  x^2+(a+2)x-a+1=0  を入力して, 〓 をクリックすると,二次方程式の解とグラフが表示されます.入力は,半角文字です.全角文字は使用できません. 試してみて下さい. また,(2)の a=(1+x)^2/(1-x) から,a を x の関数とみて,(da/dx)=0 により,2つの極値として,x=3 のとき,a=-8. x=-1 のとき,a=0 が得られます. (どこかに,勘違いや,間違いがあるかも知れませんので,よく吟味してみて下さい.)

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質問者からのお礼

細かくありがとうございます (1)は答えによると1/3<a≦1なので多分どこか間違いです (2)は(i)から(iX)がどこからそれが出てきたのか分からないです… しかも「a=(1+x)^2/(1-x) から,a を x の関数とみて,(da/dx)=0 により,2つの極値として,x=3 のとき,a=-8. x=-1 のとき,a=0 が得られます.」はそもそも分数の微分とかやり方が分かりません… 私の知恵と知能が低くこの回答を生かすことができないです すみません

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