数２の問題（複素数と方程式の範囲）を教えてください。

質問

数２の問題（複素数と方程式の範囲）を教えてください。

aを実数の定数とする。方程式
　(x^2-2x)^2-2(a+2)(x^2-2x)+4a+20=0　・・・・・(1)
について、次の各問に答えよ。

1.tを実数の定数とする。２次方程式x^2-2x=tが異なる２つの実数解をもつとき、
　tのとり得る値の範囲を求めよ。
2.方程式(1)が異なる4つの実数解をもつとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。
3.方程式(1)が実数解をもたないとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。

という問題です。

1.は

　x^2-2x=t　⇔　x^2-2x-t=0
より、この方程式の判別式をDとすると
　D/4=1+t
であり、異なる２つの実数解をもつのは、D>0のときであるから
　1+t>0　⇔　t>-1　（答）

としてみましたが、これでいいのか自信ありません。
2.、3.はどうしたらよいかわかりません。
解法と解説をよろしくお願いします。

回答No.7

nag0720 · ベストアンサー

＃５です。

＞-25/6<a<-4,a>4　（答）
＞となりました。これで大丈夫でしょうか？

違います。
a+3>√(a^2-16)　が成立するためには、a+3>0という条件も必要です。
よって、答えは、a>4　だけです。

＃６さんの解法のように、軸＞-1、f(-1)＞0で求める方が簡単でしたね。失敬。

ついでに、＃６さんへのお礼欄の解答についても。

[2]の結論がa=4となっていますが、a=-4です。（単なるタイプミスですか）
[3]は、「D>0かつ・・・」ですから、-25/6<a<-4です。
[1],[2],[3]をまとめると、-25/6<a<4

お礼

違ってましたか（汗）
条件を整理できてないですね。
まだよく見渡せないです。

チェックしていただいて助かりました。
どうもありがとうございます。

またよろしくお願いします！

回答No.6

alice_44

３. 具体的に。

A No.4
↓↑
(2)の判別式＜0、
または
｛ (2)の判別式=0 かつ
(2)の軸＜-1 ｝、
または
｛ (2)の判別式＞0 かつ (2)の軸＜-1 かつ f(-1)＞0 ｝。
ただし、f(t)=t~2-2(a+2)t+(4a+20)。

f(t) の「判別式」と「軸」は、わかりますね？

お礼

ありがとうございます。

解答
方程式(1)が実数解を持たないとき、方程式(2)は-1以上の解をもたず、
[1]実数解をもたないか、[2]-1未満の重解をもつ、
または[3]-1未満に２つの異なる解をもつことになる。

[1](2)が実数解をもたないのは、(2)の判別式D<0のときであるから
　D/4=a^2-16=(a+4)(a-4)<0　∴-4<a<4
[2](2)が-1未満に重解をもつのは、f(t)=t^2-2(a+2)+(4a+20)とおいたとき
f(t)の軸が-1より小のとき、かつ、D=0のときであるので
　f(t)=t^2-2(a+2)t+(4a+20)
　　　=[t-(a+2)]^2-a^2+16
より、軸はt=a+2
　∴a+2<-1　∴a<-3
かつ
　D=0⇔(a+4)(a-4)=0　∴a=-4.4
よって　
　a=4
[3](2)が-1未満に２つの異なる解をもつのは、
D>0、かつ、(2)の軸が-1より小、かつ、f(-1)>0のときであり、　
　D>0⇔a<-4,a>4
　a+2<-1　∴a<-3
　f(-1)=1+2a+4+4a+20
　　　　=6a+25>0　∴a>-25/6
よって、-25/6<a<-3,a>4

以上、[1],[2],[3]より、aのとり得る値の範囲は
　-25/6<a<4,a>4　（答）

で大丈夫でしょうか？
チェックしていただけるとうれしいです。

回答No.5

nag0720

＞具体的にはどのようにすればいいのでしょうか？

1.ができるなら、2.、3.もできるでしょ。

t^2-2(a+2)t+4a+20=0　が－１より大きい2つの異なる実数解をもつためには、
判別式＞０　と　t=a+2±√((a+2)^2-(4a+20))＞-1　とから、aの範囲を定めます。
±とありますが、小さいほうだけ調べればいいので、－だけで充分です。

3.も同様です。

あとは、ご自分で。
以上

お礼

ありがとうございます。
解答を作ってみました。

x^2-2x=tとおくと、方程式(1)は
　t^2-2(a+2)t+4a+20=0　・・・・・(2)
と表せる。方程式(1)が異なる４つの実数解をもつとき、
方程式(2)は-1より大きい２つの異なる実数解をもつので、
(2)の判別式をDとおくと
　D/4=(a+2)^2-4a-20
　　　=a^2-16=(a+4)(a-4)
(2)が異なる２つの実数解をもつのはD>0のときだから
　(a+4)(a-4)>0　∴a<-4,a>4　（ア）
また、t>-1より
　t=a+2±√((a+2)^2-(4a+20))>-1
　⇔a+2-√(a^2-16)>-1
　⇔a+3>√(a^2-16)
　⇔a^2+6a+9>a^2-16　(∵a^2-16>0)
　⇔6a>-25　∴a>-25/6　（イ）
（ア）（イ）より、求めるaの値の範囲は
　-25/6<a<-4,a>4　（答）

となりました。これで大丈夫でしょうか？
違っていたら、ご指摘くださるとうれしいです。

回答No.4

alice_44

(1)は実数解を持たない。
↓↑
(2)は -1 以上の解を持たない。
↓↑
(2)は実数解を持たないか、
または、-1 未満にのみ解を持つ。
↓↑
(2)は実数解を持たないか、
または、-1 未満に二つの異なる解か重解かを持つ。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

nag0720

＃２です。訂正

方程式(1)は実数解をもたない
↓↑
方程式(2)は実数解をもたない、または、－１より小さい2つの実数解をもつ

回答No.2

nag0720

1.は合ってます。

2.、3.は、t=x^2-2xと置けば、
　t^2-2(a+2)t+4a+20=0　・・・・・(2)

方程式(1)は異なる4つの実数解をもつ
↓↑
方程式(2)は　－１より大きい2つの異なる実数解をもつ

方程式(1)は実数解をもたない
↓↑
方程式(2)は実数解をもたない、または、－１以下の2つの実数解をもつ

お礼

ありがとうございます。

具体的にはどのようにすればいいのでしょうか？
できれば模範解答と解説をお願いします。

回答No.1

Tacosan

1 に出てくる「x^2-2x=t」の左辺が (1)式で特徴的に現れることに気づけば, 「(1)式を t に関する 2次方程式と思ってくれ」という問題製作者の意図が読み取れるかも.

お礼

ありがとうございます。

＞「(1)式を t に関する 2次方程式と思ってくれ」という問題製作者の意図が読み取れるかも.

それは読み取れたのですが、
その２次方程式を具体的にどう処理するかを知りたいので
こちらに質問しました。

よろしければ、模範解答を見せていただけるとうれしいです。