解の範囲の問題での質問です

質問

質問させていただきます。

ａを実数の定数とする、ｘの２次方程式ｘ^2＋（ａー１）ｘ＋ａ＋２＝０---（＊）について、

（１）（＊）が０≦ｘ≦２範囲に実数解をただ１つ持つとき、ａの範囲を求めよ。

（２）－２≦ａ≦－１のとき（＊）の実数解ｘのとりうる範囲を求めよ。
です。

（１）は定石通り、
・０＜ｘ＜２の範囲でｆ（０）・ｆ（２）＜０を調べる
・ただ１つの解が０のときを調べる
・ただ１つの解が２のときを調べる
・０≦ｘ≦２の範囲で重解を判別式を使って求め
答えはａ＝－１、－２≦ａ＜－4/3と求められて、正解でした。

しかし、（２）の解法が分かりません。

実はこの問題、元々文字定数分離法を用いて解く練習問題ですが、文字定数分離法を用いない
場合の解法がいまいち自身がなく、自分は単純にａ＝－２とー１を（＊）に代入して、解を求めて、
（実際に求めると、ａ＝－２の時、ｘ＝０，３、ａ＝－１の時、ｘ＝１より）
０≦ｘ≦３が答えというふうにしか、思いつきません。
しかしこの方法だと、ａ＝－２とー１しか調べていないので、説明不足だと思っています。

なにか、よい解法は有りませんでしょうか。

どうか、ご教示くださるよう、お願い致します。
引用：東京出版大数、数I

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

二つの解き方を示します。
1)元の方程式をaについて解く。
a=(xの式)と表して-2≦(xの式)≦-1の不等式を解く。
分数式になっているため少し注意が必要だが、分子<0が常に成り立つため分母>0が成り立つ必要があることに注意すれば問題は無いであろう。

2)解と係数の関係とグラフを用いる。
二つの解をα,βとすると解と係数の関係から
α+β=-a+1
αβ=a+2
-2≦a≦-1であるから
2≦α+β≦3
0≦αβ≦1

この範囲をα-β平面に図示する。四つの不等式を同時に満たす領域におけるα,βの摂りうる範囲を示せばよい。

お礼

非常に参考になりました。有難う御座います。