2次方程式の問題

質問

問．2次方程式x^2-2ax+4=0の解が、2つとも1より大きくなるような定数aの範囲として、正しいものはどれか？

回答.(1)方程式x^2-2ax+4=0が2つの実数解をもつので、この方程式の判別式をDとすると、D/4=a^2-4≧0⇔a≦－2，2≦a
(2)x=1のとき、y=x^2-2ax+4の値が正であればよいので、1-2a+4>0⇔a<5/2
(3)y=x^2-2ax+4の軸x=aがx=1より右にあればよいので、1<a
(1)(2)(3)より求めるaの範囲は2≦a<5/2

上記の回答から質問です。(1)の判別式でなぜ≧が使われているのでしょうか？異なる2つの解をもつ判別式はD>0ではないのでしょうか？(3)のy=x^2-2ax+4の軸x=aがx=1より右にあればよいのでとありますが、これはどういう意味なのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.3

hika_chan_

(3)
この2次関数は下に凸ですよね？
それで、(2)で、x＝１のときyはプラスになるようにaを設定しました。
しかし、もし、軸がx=0の位置にあったとして考えてみてください。
x＝１のときはプラス
x=0の時はマイナス＆頂点

このようになると、がんばってグラフを書いても
解は1より小さくなってしまいます。(適当に書いてみてください)

そこで、y=x^2-2ax+4を平方完成して軸の位置を見ます。
軸はx=aとわかります。
そのaが1より大きいところにあれば、解は必ず1より大きくなっているはずです

回答No.2

docbrown

この問題の本質は必要十分条件を求めることなんです。

（1）等号がなぜはいっているのか？

　　二つの解が一致する場合も含めるからです。

（2）軸が、x=1より右にあるという条件はなぜ必要なのか？

　　要するに、「この二次方程式のふたつの解が、ともに一より大きく
なるようなａ全体の集合を求める」からなんです。つまり、必要十分条件を求めるからなんです。樹形図とグラフを組み合わせて、3×3×3=27通りを樹形図にして場合分けしてください。判別式で3通り、端点値で3通り、軸の位置で3通りで、合計27通りを検討します。そうすると、必要十分条件になるのは、上記の解答だけです。言葉ではこれぐらいの説明しかできませんが…。

こういう本質的なところは、高校や予備校のレベルを超えてしまうでしょうね。たいへんですが、がんばってください。

回答No.1

Musicful-hearts

(3)は平方完成して一般式y=a(x-p)^2+qとしたとき、
軸がx=1であり、
軸が１よりも小さくなければ、解も１より小さくならないということ