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複素数と方程式
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まず、方程式の左辺を虚部と実部に整理すると、 x^2 + kx + 3 + (x^2 + x + 3k)i = 0 さらに、虚部を右辺に移行すると、 x^2 +kx +3 = -i(x^2+x+3k) になります。 ここで、左辺は実数なので、右辺が実数になるためには、 (x^2 + x + 3k) = 0 (1)でなければなりません。 また、x^2 + kx + 3 = -i×0 = 0により、 x^2 + kx + 3 = 0 (2)となります。 よって、(1),(2)におけるx,kの連立方程式を解けば良い わけです。 x^2 + x + 3k = 0 (1) x^2 + kx + 3 = 0 (2) だが、この連立方程式を解くに当たっての注意点があります。 文字を消去する際には、慎重にならなければ間違えてしまいますし、 また、不完全な解しか求まらない事にもなりかねません。 ここで、まず、(1)-(2)より、(1-k)x + (3k-3) = 0の一次式が 得られるわけですが、(1-k)x = 3(1-k)となり、 (1-k)≠0の場合は、(1-k)を払う事ができ、x = 3となり、 (1)式もしくは(2)式の左辺のxに値を代入すれば、 3k+12=0となり、k=-4となります。 よって、k=-4のときx = 3となります。 次に、1-k=0のすなわち、k=1のときは、(1-k)x=3(1-k)は0x=0となり、 後は、(1)式または(2)式の左辺にk=1を代入すれば、 x^2 + x + 3 = 0の二次方程式を得ますが、この二次方程式は実数解を 持たないので、不適です。 以上を纏めると、k = 4のとき実数解xは3であり、 それ以外は実数解が存在しないという事になるのでしょうか。 この問題は、考慮すべき条件が多くてかなり発展的で複雑な問題ですね。
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- kkkk2222
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ーーー 係数が複素数の場合は、 実部と虚部に分けて考えるようです。 (1+i)x^2+(k+i)x+3+3ki=0 【x^2+Kx+3】+【x^2+X+3K】i=0+0i x^2+Kx+3=0 x^2+X+3K=0 ふたつの式の共通解と見ると、面倒でも共通解Aと置いた方が紛れが少ない様です。 A^2+KA+3=0 A^2+A+3K=0 上から下を引いて (K-1)A+3(1-K)=0 (K-1)(A-3)=0 1# K=1のとき、2式は同一となり、 A^2+A+3=0 となるが、この式は実数解を持たず不適。 2# A=3のとき、2式は共に、12+3K=0 となり。 K=-4 この時、2式は ○ A^2ー4A+3=0 (A-3)(A-1)=0 --- ○ A^2+A-12=0 (A+4)(A-3)=0 よって A=3 のみが解といえる ーーー
お礼
実部と虚部に分けて考えるということが必要だったんですね。 ありがとうございました!!!
>2次方程式(1+i)x^2+(k+i)x+3+3ki=0が実数解をもつとき、その実数解を求めなさい。ただし、kは実数の定数。 [ヒント] 複素係数の2次方程式 a*x^2+b*x+c=0 が実数解をもつとき、その解は Ra*x^2+Rb*x+Rc=0 Ia*x^2+Ib*x+Ic=0 (Ra, Rb, Rc はそれぞれ a, b, c の実部、Ja, Jb, Jc はそれぞれ a, b, c の虚部) を同時に満たすはずです。
お礼
次このような問題があったら、実部、虚部という方向で考えるという第一歩を頭に入れるようにします。 ありがとうございました!!!
- koko_u_
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2次方程式の解は (-b ±√D)/(2a) ですが、方程式の係数 a, b が複素数の場合、その判別式 D の符号を考えても、解が実数かどうかは分かりません。 まずは x_0 ∈ R が解とすると、与えられた方程式を実部と虚部に分けることで、方程式が 2つ得られることから始めましょう。
お礼
本当にそうですね・・・ 判別式を考えても何も進みませんでした・・・ ありがとうございます!!!
- suzukikun
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判別式で虚数項が0になるようにすることと、実数解を持つようにすることを同時に満たすようなKを求めればいいのだと思います。
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