２次方程式の問題ですm(_ _)m

質問

2つの２次方程式

x^2+(a+1)x+a^2=0……(1)
x^2+2ax+2a=0……(2)

について,次の各問いに答えよ。ただし,aは定数である。

(1) (1)と(2)がともに解（実数解）をもつような定数aの値の範囲を求めよ。

(2) (1)と(2)のうち少なくとも１つの方程式が解（実数解）をもつような定数aの値の範囲を求めよ。

(3) (1)と(2)がともに解（実数解）をもたないような定数aの値の範囲を求めよ。

(4) (1)と(2)のうち１つの方程式だけが解（実数解）をもつような定数aの値の範囲を求めよ。

どなたかご解答をお願いいたします…；；
解答して頂いたら喜び過ぎて頭蓋骨が脱臼しそうです；；

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

設問番号のカッコと式番号の括弧が紛らわしいので
設問の方の括弧を[1]のように大カッコ「　[ ]　」を使い、式番号の方の括弧を(1)のように小カッコ「（ ）」を使って区別しましょう！

aの範囲を求めるのにaについての数直線を使うと間違いを防ぐのに役立つかと思います。

[1]
x^2+(a+1)x+a^2=0……(1)
x^2+2ax+2a=0……(2)

(1)と(2)がともに解（実数解）をもつことから
両方の判別式が共に「≧0」であるような定数aの値の範囲を求めれば良いから
(1)の判別式D1=(a+1)^2-4a^2=(a+1-2a)(a+1+2a)=-3(a-1)(a+(1/3))≧0
⇒ -1/3≦a≦1 ...(3)
(2)の判別式D2/4=a^2-2a=a(a-2)≧0 ⇒ a≦0,a≧2 ...(4)

(3)かつ(4)を満たすaの範囲であるから　-1/3≦a≦0 ...[1]の答え

[2]
(1)と(2)のうち少なくとも１つの方程式が解（実数解）をもつような定数aの値の範囲は
[1]の２つの判別式の少なくとも一方が成り立つaの条件を求めれば良いから　(3)または(4)が成り立てば良い。従ってaの範囲は
　a≦1,a≧2 ...[2]の答え

[3]
(1)と(2)がともに解（実数解）をもたないような定数aの値の範囲は、両方の判別式が共に負であれば良いから
(1)の判別式D1=(a+1)^2-4a^2=(a+1-2a)(a+1+2a)=-3(a-1)(a+(1/3))＜0
⇒ a＜-1/3, 1＜a ...(5)
(2)の判別式D2/4=a^2-2a=a(a-2)＜0 ⇒ 0＜a＜2 ...(6)

(5)かつ(6)を満たすaの範囲であるから　1≦a≦2 ...[3]の答え

[4]
(1)と(2)のうち１つの方程式だけが解（実数解）をもつ条件は
　判別式D1≧0かつ判別式D2＜0
　　(3)かつ(6)から　0＜a≦1 ...(7)
または
　判別式D1＜0かつ判別式D2≧0
　　(5)かつ(4)から　a＜-1/3,2≦a ...(8)

(7)または(8)を満たすaの範囲は a＜-1/3,0＜a≦1,2≦a ...[4]の答え

となります。

回答No.2

bgm38489

NO.1の補足。一次不等式と書いたが、この問題ではそうであるが、当然、係数によっては、判別式が二次式になることも考えられるわけ。

回答No.1

bgm38489

まるまる解答は教えないけど…解き方まで。

要するに、判別式。二次方程式ax^2+bxZ+c=0が実数解をもつためには、判別式b^2-4acが正の数または０であることが必要。（1）式がが実数解を持つための不等式、（2）式が実数解をもつための不等式が求められるね。それをaのみの不等式にして、
一問目は、両方の条件を満たす範囲。
二問目は、少なくとも片方の条件を満たす範囲（両方満たしてもよい）。
三問目は、両方の条件を満たさない範囲。
四問目は、片方の条件しか満たさない範囲（両方満たしてはダメ）。

判別式には、一次不等式の考えが必要。

自分で解いてこそ、実力となる。練習で間違えてこそ、本番では間違えない。

ガンバレ！