2次方程式の問題で質問です

質問

中3、代数の問題です。
解き方、答えも わからないので、教えていただけると嬉しいです！

以下は 問題です。

問題(1)

2次方程式 x^2－ax＋a^2－3a＝0 が 次の条件を満たすとき、定数aの範囲を求めなさい。

（1）実数解をもつ

問題(2)

２つの2次方程式

x^2－x＋a＝0 x^2＋2ax－3a＋4＝0

について、次の条件を満たすとき、定数aの範囲を求めなさい。

（1）ともに実数解をもつ
（2）少なくとも一方が実数解をもつ
（3）どちらか一方だけが実数解をもつ

どうかよろしくお願いします！

回答No.1

OKwaver25 · ベストアンサー

二次方程式の解は「解の公式」を用いることで求めることができますが、今回の設問では”実数解の個数”について問われていますので、「解の公式」の一部を用いた「判別式」を利用します。
http://examist.jp/mathematics/math-1/quadratic-function2/nijihouteisiki-jissuukaikosuu/

問題(1)については、実数解を持つ場合を求めればよいので、D＞0（異なる二つの実数解を持つ）またはD＞0（ただ一つの実数解(重解)を持つ)のいずれかであればよい訳です。
設問の二次方程式を上記の判別式に当てはめると、
　D＝(－a)^2－4・1・(a^2－3a)＝－3a(a－4)＞＝0
　上記の式を解くと、0＜＝a＜＝4となります。

問題(2)についても、考え方は同様です。（説明のため、設問中の２つの方程式を以下のように置きます。）
　・式A：x^2－x＋a＝0
　・式B：x^2＋2ax－3a＋4＝0

(1)については、式Aと式Bがいずれも実数解を持つ場合を求めればよいので、いずれもD＞＝0であればよい訳です。（添付画像の[1][2][4][5]の場合が解となります。）
　・式Aの判別式：D＝(－1)^2－4・1・a＝1－4a＞＝0
　　⇒ a＜1/4・・・(A)
　・式Bの判別式：D＝(2a)^2－4・1・(－3a＋4)＝4a^2＋12a－16＝4(a^2＋3a－4)＞＝0
　　⇒ a＜＝－4、1＜＝a・・・(B)
(A)、(B)により、a＜＝－4・・・(C)となります。

(2)についても、同様の手順で求められます。
なお、「少なくとも一方が解を持つ場合」は、「どちらも実数解を持たない場合」の逆にあたりますので、「どちらも実数解を持たない場合」の条件を算出後に逆説を取ればよいです。（添付画像の[1]～[8]を求めるために、[9]を先に導出し、逆を取ります。）
「実数解を持たない場合」は判別式がD＜0ですので、
　・式Aの判別式＝1ー4a＜0
　⇒ 1/4＜a・・・(D)
　・式Bの判別式＝4(a^2＋3a－4)＜0
　⇒ －4＜a＜1・・・(E)
(D)、(E)により、「式A、式Bのいずれも実数解を持たない場合」は、1/4＜a＜1・・・(F)
ゆえに、「式A、式Bの少なくとも一方が解を持つ場合」は、a＜＝1/4、1＜＝aとなります。

(3)については、(1)と(2)で求めた結果を用います。
添付画像にあるように、(1)で求めた[1][2][4][5]のパターンとなる(C)、(2)で求めた[9]のパターンになる(F)を除いた[3][6]～[8]の4パターンの場合に「式A、式Bのどちらか一方だけが実数解を持つ」ことになります。
ゆえに、(C)と(F)に該当しない条件の－4＜a＜＝1/4、1＜＝aとなります。

お礼

お忙しい中、詳しくご説明をありがとうございました！とてもよくわかりました！
また機会がありましたら、ぜひよろしくお願いいたします！

回答No.2

kiha181-tubasa

中学３年でこの問題ですか。これは高等学校数学Iの内容です。しかも，２次不等式の解法を学だ後でないと解けません。
　実際の解答は他の方の回答のとおりです。

お礼

ありがとうございます！
中高一貫校なので、高校数学をやっています。
授業の進み方が速くて、時々大変になりますが頑張ります！
また機会がありましたら、よろしくお願いいたします！