高次方程式の問題

質問

御世話になっております。次の基本問題を解いたのですが、答えが無いので、お解りになる方の回答を求めたく存じます。

問 「三次方程式x^3+ax+b=0の三つの解のうち、一つの解が1+√3iであるとき、実数の定数aとb、及び他の解を求めろ」

解法は割愛させていただき…
答えは、a=0 b=8 x=-2 1-√3i

宜しくお願い致します。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

答がないって, そこにあるじゃん.

お礼

あってる、という事ですね！助かりました

回答No.4

trokky

因数分解したらクリアです。
今回は解が一つわかっているので他の解をα,βとすると
x^3+ax+b=(x-α)(x-β)(x-(1+√3i))=0
です。
a、bは定数なので、-(1+√3i)をかけたxの項に複素数を残さないために、これを打ち消すために1-√3i[共益複素数]が解になると予測できます。
よってβ=1-√3iとして展開すると、
x^3+ax+b=(x-α)(x-(1-√3i))(x-(1+√3i))
=(x-α)(x^2-2x+4)
=x^3+(-α-2)x^2+(2α+4)x-4α
です。
係数を比較すると、0=-α-2,a=2α+4,b=-4α
だとわかります。
これを解いて、α=-2,a=0,b=8となります。

お礼

安心しました。ありがとうございました

回答No.3

eco1900

「三次方程式の係数が実係数で、その一つの解がA＋BiならばA－Biも解となります。」を知っているなら、No1の回答者さんの解法を薦めます。

せっかくなので、ここでは違った手法で回答してみます^^A。

【解法１】

・x＝１＋√3i　なので、これを元の方程式へ代入してもOKだということですね。

　（＊実際に、この値を代入してもいいのですが…ちょっと面倒そうですね）

　そこで…次のように考えます。

「x＝１＋√3i」から「x－１＝√3i」

　（両辺平方します）　→　(x－１)^2＝(√3i)^2

　（両辺を整頓します）→　x^2－２x＋４＝０　★

　（更に整頓して）　　→　x^2＝２x－４　　●

　…この形にしておいてから、一気に（x^2の部分に）代入した方が得策ですね^^A

実際に、代入してみると…

　x^3+ax+b=0

　x^2×x＋ax＋b＝０　＊代入しやすいように「x^3」を分解。

　(２x－４)×x＋ax＋b＝０　＊一気に●を利用して代入。

　２x^2－４x＋ax＋b＝０

　２(２x－４) －４x＋ax＋b＝０　＊再度一気に●を利用して代入。

　－８＋ax＋b＝０　＊ここで元々の「x＝１＋√3i」を代入。

　－８＋a(１＋√3i)＋b＝０

　(－８＋a＋b)＋(a√3)i＝０　＊実数A、Bに対して「A＋Bi＝０ならA＝０かつB＝０」だから…

　－８＋a＋b＝０　かつ　a√3＝０

　…これらを解いて【a＝０、b＝８】とします。

他の解は、この値を使って実際に方程式を解くことで解決します。

【解法２】

・「＜解法１＞中の★」の部分から、三次方程式の左辺は★の左辺で割り切れることになります。

実際に割り算を実行しますと…商x＋２、余りax＋(b－８)

つまり、これを「割り算の原理」に従って書き直すと、三次方程式の左辺は…

　x^3+ax+b= (x^2－２x＋４)×(x＋２)＋{ ax＋(b－８)}　…を表します。

これが、「０（方程式の右辺のこと）」なので…

　(x^2－２x＋４)×(x＋２)＋{ ax＋(b－８)}　＝０

　おまけに…(x^2－２x＋４)は、★から一気に0だから…

　結局、{ ax＋(b－８)}　＝０

後は、これに初めて＜解法１＞のように地道に「x＝１＋√3i」を代入して…

長くなりましたが、以下割愛^^Aとしますので、頑張ってください。

お礼

ここまで丁寧に解説して下さった事に感謝です。大変参考になります。ありがとうございました

回答No.1

gohtraw

元の方程式の係数が実数なので、一つの解が１＋√３ｉのばあい１－√３ｉも解です。従ってこの方程式は
（ｘ－α）（ｘ－１－√３ｉ）（ｘ－１＋√３ｉ）＝０
と表されます。これを展開して元の方程式と比較すればＯＫです。

お礼

プロセスは一応理解出来ておりました。教科書だけしかなく回答が無かったので、困っておりました。詳しい解説を添えて下さり、助かりました。