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高次方程式の問題
御世話になっております。次の基本問題を解いたのですが、答えが無いので、お解りになる方の回答を求めたく存じます。 問 「三次方程式x^3+ax+b=0の三つの解のうち、一つの解が1+√3iであるとき、実数の定数aとb、及び他の解を求めろ」 解法は割愛させていただき… 答えは、a=0 b=8 x=-2 1-√3i 宜しくお願い致します。
- いろは にほへと(@dormitory)
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答がないって, そこにあるじゃん.
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- trokky
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因数分解したらクリアです。 今回は解が一つわかっているので他の解をα,βとすると x^3+ax+b=(x-α)(x-β)(x-(1+√3i))=0 です。 a、bは定数なので、-(1+√3i)をかけたxの項に複素数を残さないために、これを打ち消すために1-√3i[共益複素数]が解になると予測できます。 よってβ=1-√3iとして展開すると、 x^3+ax+b=(x-α)(x-(1-√3i))(x-(1+√3i)) =(x-α)(x^2-2x+4) =x^3+(-α-2)x^2+(2α+4)x-4α です。 係数を比較すると、0=-α-2,a=2α+4,b=-4α だとわかります。 これを解いて、α=-2,a=0,b=8となります。
お礼
安心しました。ありがとうございました
- eco1900
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「三次方程式の係数が実係数で、その一つの解がA+BiならばA-Biも解となります。」を知っているなら、No1の回答者さんの解法を薦めます。 せっかくなので、ここでは違った手法で回答してみます^^A。 【解法1】 ・x=1+√3i なので、これを元の方程式へ代入してもOKだということですね。 (*実際に、この値を代入してもいいのですが…ちょっと面倒そうですね) そこで…次のように考えます。 「x=1+√3i」から「x-1=√3i」 (両辺平方します) → (x-1)^2=(√3i)^2 (両辺を整頓します)→ x^2-2x+4=0 ★ (更に整頓して) → x^2=2x-4 ● …この形にしておいてから、一気に(x^2の部分に)代入した方が得策ですね^^A 実際に、代入してみると… x^3+ax+b=0 x^2×x+ax+b=0 *代入しやすいように「x^3」を分解。 (2x-4)×x+ax+b=0 *一気に●を利用して代入。 2x^2-4x+ax+b=0 2(2x-4) -4x+ax+b=0 *再度一気に●を利用して代入。 -8+ax+b=0 *ここで元々の「x=1+√3i」を代入。 -8+a(1+√3i)+b=0 (-8+a+b)+(a√3)i=0 *実数A、Bに対して「A+Bi=0ならA=0かつB=0」だから… -8+a+b=0 かつ a√3=0 …これらを解いて【a=0、b=8】とします。 他の解は、この値を使って実際に方程式を解くことで解決します。 【解法2】 ・「<解法1>中の★」の部分から、三次方程式の左辺は★の左辺で割り切れることになります。 実際に割り算を実行しますと…商x+2、余りax+(b-8) つまり、これを「割り算の原理」に従って書き直すと、三次方程式の左辺は… x^3+ax+b= (x^2-2x+4)×(x+2)+{ ax+(b-8)} …を表します。 これが、「0(方程式の右辺のこと)」なので… (x^2-2x+4)×(x+2)+{ ax+(b-8)} =0 おまけに…(x^2-2x+4)は、★から一気に0だから… 結局、{ ax+(b-8)} =0 後は、これに初めて<解法1>のように地道に「x=1+√3i」を代入して… 長くなりましたが、以下割愛^^Aとしますので、頑張ってください。
お礼
ここまで丁寧に解説して下さった事に感謝です。大変参考になります。ありがとうございました
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
元の方程式の係数が実数なので、一つの解が1+√3iのばあい1-√3iも解です。従ってこの方程式は (x-α)(x-1-√3i)(x-1+√3i)=0 と表されます。これを展開して元の方程式と比較すればOKです。
お礼
プロセスは一応理解出来ておりました。教科書だけしかなく回答が無かったので、困っておりました。詳しい解説を添えて下さり、助かりました。
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お礼
あってる、という事ですね!助かりました