高次方程式の問題です。

質問

高次方程式の問題です。

xの方程式x(x-3)(4x^2+4ax+a^2-9)=0…(1)がある。
[1](1)が異なる3個の実数解をもつような実数の定数aの値を求めよ。
[2]数直線上で(1)の4個の解が等間隔に並ぶようなaの値の個数を求めよ。

という問題なのですが、[1]は自力で解いたので添削をお願いします。
[2]の答えはちなみに4なのですが、どう考えたら良いか分かりませんでした。[2]はヒントだけでも教えて頂けたら幸いです。

[1]
4x^2+4ax+a^2-9…(2)の判別式をDとすると、D/4=4a^2-4(a^2-9)=9>0
∴異なる二つの実数解をもつ。
題意を満たすには、異なる二つの実数解のうち１つが０または３であればよい。
(i)(2)がx=0を解にもつとき、a^2-9=0　∴a=±3
a=3のとき、4x^2+12x=4x(x+3)=0,x=0,-3
よって(1)の解はx=-3,0,3の３つ。
a=-3のとき、4x^2-12x=4x(x-3)=0,x=0,3
これは(1)の解が２つになるので、不適。
(ii)(2)がx=3を解にもつとき、36+12a+a^2-9=0,a^2+12a+27=(a+3)(a+9)=0　∴a=-9,-3
a=-9のとき、4x^2-36x+72=0,x^2-9x+18=(x-6)(x-3)=0,x=3,6
よって(1)の解はx=0,3,6の３つ。
a=-3のとき、(i)と同様不適。
(i)(ii)より、a=3,-9

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

[1]基本的にはよろしいかと。　D/4は9でなく36ですかね。

[2]
泥臭い解答ですが、
等間隔に並ぶ４つの解のうち２つは0,3なので、
1)0, 1, 2, 3
2)0, 1.5, 3, 4.5
3)-1.5, 0, 1.5, 3
4)0, 3, 6, 9
5)-6, -3, 0, 3
6)-3, 0, 3, 6
の6ケースが考えられる。各ケースにおいて解と係数の関係を考えると、
1)　-a=3, (a^2-9)/4=2 →　aの解なし
2)　-a=6, (a^2-9)/4=27/4 →　a=-6
3)　-a=0, (a^2-9)/4=-9/4 → a=0
4)　-a=15, (a^2-9)/4=54 →　a=-15
5)　-a=-9, (a^2-9)/4=18 →　a=9
6)　-a=3, (a^2-9)/4=-18 →　aの解なし
したがって4個。

お礼

地道に数え上げていくしかないのですね…
詳しい回答大変ありがとうございました！

回答No.3

asuncion

与方程式の２つの解は0と3であることがわかっています。
４つの解が等間隔になるということは、
１）0, 3, 6, 9の４つの解
２）0, 1.5, 3, 4.5の４つの解
３）-6, -3, 0, 3の４つの解
４）-1.5, 0, 1.5, 3の４つの解
をそれぞれ持つ、というケースが相当するのではないでしょうか。

回答No.1

koko_u_u

>D/4=4a^2-4(a^2-9)=9>0

平方数なんだから、解は簡単に求まる。ということを意味していますよね。