緊 ２次方程式、高次方程式?の問題で教えて下さい＞＜

質問

緊　２次方程式、高次方程式?の問題で教えて下さい＞＜

２次方程式　ｘ^2－ax－a＋８＝０について

(1)。異なる２つの正の解をもつとき、定数aの値の範囲を求めなさい。

(2)。異符号の解をもつとき、定数aの値の範囲を求めなさい。

この二つの問題がわかりません；　　回答お待ちしていますｍ＿＿ｍ

回答No.2

goomachan · ベストアンサー

２次方程式　x^2 -ax +(8-a)=0
この方程式の解の判別式をＤとすると　Ｄ＝(-a)^2 -4×1×(8-a)=a^2 +4a -32
２つの解をα , β　(α < β)とするとき、この方程式の解と係数の関係から
　（和）＝α+β = - (-a)/1 = a , 　（積）＝αβ = (8-a)/1 =8-a

（１）　異なる…（＃）２つの正の解をもつとき、
(i) 判別式Ｄが　Ｄ＞０より、　Ｄ＝　a^2 +4a -32　>0
　　　　　　　　　　２次不等式を解いて　　(a+8)(a-4)>0　から　 a<-8 , 4<a 　…(1)　
(ii) α ,β　がともに正だから　α+β>0 かつ αβ>0
　　　　　　　　　　α+β = a>0 　…(2)　　αβ = 8-a>0 より　　 a<8 　…(3)
(1)、(2)、(3)を数直線上に書き込むと
　　　　　　　　　　　　 4 < a < 8 　…（答）

※注　「異なる」が書かれてなく、ただ単に「２つの正の解」とだけ書かれていた場合は、
　　　(i) の条件である判別式ＤがＤ≧０　「Ｄは０以上」となり、不等号の下に等号がつく。

（２）　２つの解が異符号の解をもつとき、 αβ<0 より、　αβ = 8-a<0 から
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a>8 　…（答）

これでよろしいでしょうか？

お礼

お二人方有難うございました。

回答No.1

sanori

こんにちは。

（１）
解の公式より
ｘ　＝　１／２・［ａ　±　√｛ａ^2－４（－ａ＋８）｝］
　＝　１／２・［ａ　±　√（ａ^2＋４ａ－３２）］

ここで判別式　ａ^2＋４ａ－３２　をＤと表すことにして、
異なる２つの実数解を持つためには、
Ｄ＞０
ａ^2＋４ａ－３２　＞　０
（ａ＋４）（ａ－８）＞０
ａ＜－４　または　ａ＞８　　・・・（あ）

また、２つの解のうちルート記号の前が　－　のものも正でなくてはいけないので、
１／２・［ａ　－　√Ｄ］　＞　０
ａ　＞　√Ｄ
ａ^2　＞　Ｄ
ａ^2　＞　ａ^2＋４ａ－３２
０　＞　４ａ－３２
ａ＜８　　・・・（い）

（あ）、（い）は、連立不等式です。
ａ＜－４　かつ　ａ＜８　　・・・（う）
または
ａ＞８　かつ　ａ＜８　　・・・（え）
（え）は無効なので、（う）すなわち　ａ＜－４　だけが生き残ります。

（２）は、
１／２・［ａ　＋　√Ｄ］　＞　０
１／２・［ａ　－　√Ｄ］　＜　０
という連立不等式ですね。
あとは、やってみてください。