わからないので教えてください(´・ω・`)

質問

２つの２次方程式 ｘ²＋aｘ＋a＋３＝０ ， ｘ²－aｘ＋４＝０ が
ともに虚数解をもつとき、定数aの値の範囲を求めよ。

２つの方程式 x²＋２aｘ＋a＋２＝０ ， ｘ²－４ｘ＋a＋３＝０
のうち、どちらか一方だけが実数解をもつように、定数aの値の範囲を定めよ。

a ， ｂ ， ｃ を定数とする。
２次方程式 aｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０は、2次の係数aと
定数項ｃが異符号ならば、異なる２つの実数解をもつことを示せ。

回答No.5

shuu_01 · ベストアンサー

No.1ーNo.4 さんは質問者さんが「判別式」を知ってるという前提で回答してますが、僕は判別式、もう忘れ去っており、もしかして同じレベルかもしれないので僕の回答も書いておきます

【１】２つの２次方程式 ｘ²＋aｘ＋a＋３＝０ ， ｘ²－aｘ＋４＝０ が
ともに虚数解をもつとき、定数aの値の範囲を求めよ。

ｘ²＋aｘ＋a＋３＝０ を変形すると
（x ＋ a/2）^2－a^2/4 ＋ a ＋ 3 ＝ 0
（x＋a/2）^2 ＝（a＋2）（a－6）/4
虚数解を持つということは（a＋2）（a－6）＜0 の時、
すなわち、－2＜a＜6 の時　　(1)
同様に ｘ²－aｘ＋４＝０ を変形すると
（x－a/2）^2 ＝ （a＋4）（aー4）/4
虚数解を持つということは（a＋4）（aー4）＜0 の時
すなわち、－4＜a＜4 の時　　(2)
(1)、(2) どちらも満たすのは、－2＜a＜4 の時　← 答え

【２】２つの方程式 x²＋２aｘ＋a＋２＝０ ， ｘ²－４ｘ＋a＋３＝０
のうち、どちらか一方だけが実数解をもつように、定数aの値の範囲を定めよ。
x²＋２aｘ＋a＋２＝０ を変形すると
（x＋a）^2＝（a－2）（a＋1）
　実数解を持つのは、（a－2）（a＋1）≧ 0 の時、
　　すなわち　a ≦ ー1, 2 ≦ a の時　　(3)
　虚数解を持つのは、（a－2）（a＋1）＜ 0 の時、
　　すなわち 　ー1 ＜ a ＜ 2 の時　　(4)

ｘ²－４ｘ＋a＋３＝０ を変形すると
（xー2）^2 ＝ 1 ー a
　実数解を持つのは、1 ー a ≧ 0 の時、
　　すなわち a ≦ 1 の時　　(5)
　虚数解を持つのは、1 ー a ＜ 0 の時、
　　すなわち　1 ＜ a の時　　(6)

どちらか一方だけが実数解をもつのは
　(3) と (6) どちらも満たす　2 ≦ a
　あるいは
　(4) と (5) どちらも満たす ー1 ＜ a ≦ 1
　ですので、2 ≦ a　あるいは　ー1 ＜ a ≦ 1

【３】a ， ｂ ， ｃ を定数とする。
２次方程式 aｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０は、2次の係数aと
定数項ｃが異符号ならば、異なる２つの実数解をもつことを示せ。

a はゼロでないので、a で割ると
ｘ²＋（ｂ/a）ｘ＋ｃ/a ＝ ０
同じように変形して
（x ＋ b/2a）^2 ＝ （b^2ー4ac）/4a^2

実数解を持つのは（b^2ー4ac）/4a^2 ≧ 0 の時
虚数解を持つのは（b^2ー4ac）/4a^2 ＜ 0 の時です

b^2 ≧ 0、4a^2 ＞ 0
a と c は異符号なので、ac はマイナスですので、－ac ＞ 0
ということは（b^2ー4ac）/4a^2 ＞ 0 となり、
実数解を持つことが示されます

お礼

ありがとうございました!!
超助かりました(#^.^#)

回答No.4

yyssaa

２つの２次方程式 ｘ²＋aｘ＋a＋３＝０ ， ｘ²－aｘ＋４＝０ が
ともに虚数解をもつとき、定数aの値の範囲を求めよ。
＞二次方程式ax^2+bx+c=0が虚数解をもつのは、根の判別式が負、
すなわちb^2-4ac＜0のときです。
x^2+ax+a+3=0の根の判別式はa^2-4(a+3)=a^2-4a-12=(a-6)(a+2)
x^2-ax+4=0の根の判別式はa^2-4*4=a^2-16=(a-4)(a+4)
よって(a-6)(a+2)＜0から-2＜a＜6・・・・・(1)
(a-4)(a+4)＜0から-4＜a＜4・・・・・(2)
(1)(2)の共通範囲をとって-2＜a＜4・・・答

２つの方程式 x²＋２aｘ＋a＋２＝０ ， ｘ²－４ｘ＋a＋３＝０
のうち、どちらか一方だけが実数解をもつように、定数aの値の範囲を定めよ。
＞二次方程式ax^2+bx+c=0が実数解をもつのは、根の判別式が正又は0、
すなわちb^2-4ac≧0のときです。
x^2+2ax+a+2=0の根の判別式は4a^2-4(a+2)=4(a^2-a-2)=4(a-2)(a+1)
x^2-4x+a+3=0の根の判別式は16-4(a+3)=16-4a-12=4-4a=4(1-a)
よって4(a-2)(a+1)≧0から-1≧a及びa≧2・・・・・(1)
4(1-a)≧0から1≧a・・・・・(2)
(1)(2)の共通範囲は-1≧aだから、(1)(2)からこの範囲を除いて、
-1＜a≦1及び2≦a・・・答

a ， ｂ ， ｃ を定数とする。
２次方程式 aｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０は、2次の係数aと
定数項ｃが異符号ならば、異なる２つの実数解をもつことを示せ。
＞ax^2+bx+c=0の根の判別式はb^2-4ac。aとcが異符号ということは
ac＜0だから-ac＞0、従ってb^2-4ac＞0で異なる２つの実数解をもつ
(証明終わり)
　なお、y=ax^2+bx+c=a(x^2+bx/a)+c=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a
=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4aから、
この方程式のグラフは点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)を頂点とする放物線
で、a＞0のときは下に凸(∪のような形)であり、ac＜0であれば
(4ac-b^2)/4a＜0だから頂点がx軸の下になって、グラフがx軸と
2点で交差する、すなわち異なる２つの実数解をもつことになります。
a＜0のときも同様。

お礼

ありがとうございました!!
超助かりました(#^.^#)

回答No.3

spring135

やろうとしていることはみんな同じ、だけど問題に(1),(2),(3)のように番号をつけなさい。

要するに2次方程式の判別式の問題です。何を判別するか知っていますか。

まずは教科書を見直してください。

回答No.2

asuncion

(3)
判別式D = b^2 - 4acにおいて、
b^2 ≧ 0
a, cは異符号であるからac < 0
-4ac > 0
よって、D > 0となるから
異なる2つの実数解を持つ。

回答No.1

takkochan

どこまでやって、どこからわからないのか示すべき。

教科書を読む程度でもある程度わかるはず。

この質問は、「やる気ありません。解答を書いてください」
といっているに等しい。