数２の問題（複素数と方程式）を教えてください。

質問

数２の問題（複素数と方程式）を教えてください。

問題
aを実数の定数とする。３次方程式
　x^3+(a-2)x^2+3x-a-2=0　・・・・・(1)
について、次の質問に答えよ。

[1]方程式(1)はaの値に無関係な解をもつことを示せ。
また、その解を求めよ。
[2]方程式(1)が虚数解をもち、その実部が-1であるとき、aの値を求めよ。
また、虚数解をすべて求めよ。
[3]方程式(1)が2重解と他の１つの解をもつとき、aの値を求めよ。

という問題です。
[1]、[2]と[3]の途中までやってみました。

解答
[1]f(x)=x^3+(a-2)x^2+3x-a-2とおくと
　f(1)=1+a-2+3-a-2=0
より、f(x)は(x-1)を因数にもつので、
　f(x)=(x-1)〔x^2+(a-1)x+a+2〕
と因数分解できる。よって、f(x)=0のとき、
　x=1,(-a+1±√(a^2-6a-7))/2
となり、題意は示された。
よって、求める解は、
　x=1　(答)

[2][1]よりx=1,(-a+1±√(a^2-6a-7))/2であり、
虚数解をもつのは、a^2-6a-7<0のときであるから
　a^2-6a-7<0　⇔　(a+1)(a-7)<0　∴-1<a<7　・・・(2)
また、実部が-1より
　(-a+1)/2=-1　⇔　-a+1=-2　∴a=3　　・・・(3)
(2)、(3)より、求めるaの値は　
　a=3　(答)
よって
　x=(-3+1±√(-4*4))/2=-1±2i
したがって、求める虚数解は
　x=-1+2i,-1-2i　(答)

[3]方程式(1)が2重解をもつのは、次の（ア）、（イ）の場合である。
　（ア）x^2+(a-1)x+a+2=0がx≠1の重解をもつ。
　　判別式をDとすると、D=0かつ(-a+1)/2≠1
　　　D=a^2-6a-7=(a+1)(a-7)=0
　　　∴a=-1,7　かつ　a≠1
　　ゆえに
　　　a=-1,7
　（イ）x^2+(a-1)x+a+2=0の解のひとつが1で、他の解が1でない。
　　　1^2+a-1+a+2=0　かつ　？？？
　　よって、
　　　a=-1　かつ　？？？
以上から、求めるaの値は　
　　　？？？

となりました。
[1][2]のチェックと[3]の？？？部分を含めて
解説、解答をよろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

[1],[2]は合っていると思います。

[3]
(ア)
>a=-1,7
a=-1のとき(1)は
x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3=0
x=1の3重解なので不適。

a=7のとき(1)は
x^3+5x^2+3x-9=(x-1)(x+3)^2=0
x=1,x=-3(重解)
適する。

(イ)
「かつ？？？」を最初から考えるのではなく
a=-1を(1)に代入して方程式を解けば「？？？」の部分のチェックができます。
a=-1を(1)に代入して
x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^2=0
(1)の解がx=1(3重解)となるので(イ)の場合は不適（ありえない）。
>以上から、求めるaの値は
a=7 …（答）

お礼

ありがとうございます。
-1は違ったんですか。^_^;
いまいち全体像がつかめないんですが、
教えていただいた解答を見て考え直してみます！

回答No.4

info22_

#3です。

A#3で誤植があったので訂正します。
>a=-1を(1)に代入して
>x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^2=0
誤：=(x-1)^2=0
正：=(x-1)^3=0

A#3の補足について
>-1は違ったんですか。^_^;
A#3に書いた通り
a=-1のとき(1)にa=-1を代入して
x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3=0
x=1の3重解なので不適。
です。

お礼

ていねいに補足いただいてありがとうございます。
こちらの問題はほのかにわかってきました。
ノートに清書してまとめているところです。
別スレッドでお答えいただいているもう一問の方はただいま格闘中です。( ..)φ

回答No.2

B-juggler

こんにちは。

あっているとは思います。

微分を使うともう少しスマートにいけないかなぁ？

このままでも大丈夫だけど・・・。
　＃特に「３」で。

重解だから、　ｄｆ（ｘ）／ｄｘ　＝０　になる点で、

ｆ（ｘ）＝０だったらいいわけだから。

それで、「３」は、？？？のところは、解なしです。

解の公式が出ているでしょう？「２」のところで。

ａ＝－１を入れると、ルートの中身が　０　になるよね。

三重解になりますね。ってことは、グラフがおかしい。

元の式は

x^3-3x^2+3x-1=0　（１）だけど、

（ｘ－１）＾３ですね。

なので、こっちはありえない。これで大丈夫だと思うよ。

お礼

ありがとうございます。
[3]の（イ）は解なしになるんですね。
微分はまだやってないんですが、履修したらもっとスマートにやれるようになるんでしょうか。
数学苦手で道は険しいけどがんばります！

回答No.1

Tacosan

[1] と [2] は OK.
[3] (イ) の「???」は, その 2次方程式が「2つの異なる実解をもつ」という条件です.

お礼

ありがとうございます。
＞「2つの異なる実解をもつ」という条件ならば
他の解が１でないことになるのですね。
[3]（イ）のつづきは

　(a+1)(a-7)>0　∴-1>a,7<a
ゆえに
　a=-1　かつ　-1>a,7<a
よって解なし。
以上、（ア）、（イ）から、求めるaの値は
　a=-1,7　(答)

でいいでしょうか？