高校数学の問題です。

質問

aを定数とし、F(x)=x^2-ax+a^2/2-2a+3とする。
二次方程式F(x)=0は実数解α、β(ただし、α≦β)をもつものとする。
このとき、aの範囲は
2≦a≦6
ではり、F(0)のとり得る値の範囲は
1≦F(0)≦9
である。

(1)二次方程式 F(x)=0が1以下の正の解をもつとき、aの値の範囲は
【ア】≦a≦【イ】
である。

(2)二次方程式F(x)=0が2以下の正の解を少なくとも1つもつとき、aの値の範囲は
【ウ】≦a≦【エ】+√【オ】
である。

この問題の答えは分かっています。
【ア】2【イ】4
【ウ】2【エ】4【オ】2
です。
ですが、この答えを導く途中式が分かりません。どのような考えでこの答えが出せるのでしょうか。
分かりましたら、回答お願いします。

そして、この問題は数学1の二次関数の分野でしょうか。
勉強したいので、それについても回答よろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

α、β(ただし、α≦β)となってるように、むしろ2次方程式の問題と考えた方が良いだろう。
解と係数から　aを消去して、αとβの関係に持ち込む方法(そっちの方が簡単なんだが、座標はわからないようだから)の方が解り易いんだが。。。。
一般的な方法でやってみよう。

＞(1)二次方程式 F(x)=0が1以下の正の解をもつとき、aの値の範囲は

これは問題がオカシイ。2個か1個か解らないし、答えから逆算すると、解は1個という条件なんだろう。
2個なら、そんな答えにはならない。
f(x)＝2x＾2-2ax＋a＾2-4a＋6＝0とする。
f(0)＝(a-2)＾2＋2＞0　から、f(1)＝(a-2)*(a-4)≦0　。従って、2≦a≦4

＞(2)二次方程式F(x)=0が2以下の正の解を少なくとも1つもつとき、aの値の範囲は

少なくても、という条件から2個の場合と1個の場合がある。
(1)　1個の時、f(0)＝(a-2)＾2＋2＞0　から　f(2)＝a＾2-8a＋14≦0　が条件
(2)　2個の時、判別式≧0　(重解でも良い)、f(0)＞0　より　f(2)＞0、0＜軸＜2

(1)と(2)の共通範囲を求めると、模解のようになる。

お礼

分かりやすい回答ありがとうございます。

二次方程式の問題と考えて良いのですね！
確かに(1)の問題は、解が1個か2個か分からなくて迷いました。

(2)は二通りに分けて考えて共通範囲を求めるのですね！

これを踏まえて、もう一度解いてみたいと思います。丁寧な解説本当にありがとうございました。

回答No.2

tanukibuta

グラフを描けばすぐにわかる。

(1)は、軸がどこにあるかに気付けば、解の個数は自明です。

また、「グラフを描けば」というところから推察できるだろうが、この手の問題は、「二次関数」としてグラフを描き、視覚化して考えるとよい。

お礼

軸がどこにあるか、(1)は最初に指定されたaの範囲を考えれば、1以下の正の解の個数が1つだと分かりました。

(1)、(2)ともグラフにして考えてみて、やっと自分で理解できました。

全くtanukibutaさんのおっしゃる通りでした。
回答ありがとうございました。