2次方程式の問題が分かりません。

質問

2次方程式の問題が分かりません。

【問】２次方程式x^2+mx+1=0の二つの解をα,βとするとき、
α,βがともに３より小さくなるような定数ｍの値の範囲を求めよ。

判別式D=m^2-4>=0で、
m>=+-2
m<=-2,2<=m　となるところまでは出来たのですが…

α,βが３より小さいという条件をどうやって表したら良いのか分かりません；；

宜しくお願いします。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

こういう問題の定石は，判別式と軸と問題に与えられている数値の3つで考えます。
２次関数y=x^2+mx+1を考えて，このグラフとx軸の交点のx座標がこの2次方程式の解になるのですからグラフを頭の中で考えてください。

A)まずx軸と交わらなくてはなりません。これが判別式が正という条件になります。
判別式は分かっているようですね。ただしm>=+-2と書くのは変です。D=m^2-4>=0からm<=-2,2<=mと書いてください。

B)次に軸はどの辺にあるでしょうか？x=3よりも左側ですね。
この問題の場合には軸はx=-m/2です。これが3より小さくなければなりません。
-m/2<3からm>-6です。

C)2次関数が下に凸で，軸が3より小さくて，x軸と2点で交わっていても，x=3のときy<0であれば条件を満たしません。しかしx=3のときy>0であれば条件を必ず満たすことが分かるでしょう。
それが問題に与えられている数値での条件になります。xが3のときx^2+mx+1は正でなければなりません。
9+3m+1>0からm>-10/3です。

すべてを満足させるところを求めると，-10/3<m<-2または2<mです。
「2<mかつ -10/3<m<-2・・・・(答え)」ではありませんよ>#2の人

別解では直接に解が3より小さいことを式にしても良いですね。
2つの解は(-m+√(m^2-4))/2と(-m+√(m^2-4))/2になりますが，このうち大きい方の解が3よりも小さければ，小さいほうの解は自動的に3よりも小さくなります。
(-m+√(m^2-4))/2<3からm>-10/3が導けます。

お礼

回答ありがとうございます。

とても分かりやすく助かりました。
2次方程式の解の範囲の問題は前から苦手だったので、これを機に定着させたいと思います（・ω・´)!

回答No.4

noname#113983

No2の回答です。すまん「かつ」でなく「または」です。
勘違いしちゃった。

お礼

わざわざありがとうございますo(_ _*)o

解き方が分かり助かりました！
明日はテストなのですが頑張ってきます！

回答No.2

noname#113983

x^2+mx+1=0の二つの解がα,βなんだから
x^2+mx+1=(x-α)(x-β)=0とかけて、条件 αβ=1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -(α＋β)=m をみたす。
　　　　　　　　　　　　　　 α,β<3

そうすると条件からβ=1/α。
α-β平面上にβ=1/α(α,β<3)のグラフを書くともっと分かりやすい。
ここにはグラフないが、1/3<α<3のとき2<(α＋1/α)<10/3・・・(1)で
　　　　　　　　　　　α<0のとき(α＋1/α)<-2・・・・(2)
なのでmの満たす条件は(1)(2)より
2<mかつ -10/3<m<-2・・・・(答え)

お礼

回答ありがとうございます。

解くのに時間がかかってしまいましたが何とか理解できました＊

回答No.1

Takuya0615

ここまで出ているなら、あとはｍ＝±２を代入しα、βが３以下になる。それを書くだけでいいと思いますよ。

お礼

お早い回答ありがとうございます！

そうなんですか…？
そんな簡潔な答えになるとは思ってもみませんでした;;

また解き直してみます。ありがとうございました。