数IIの２次方程式の問題をお願いします

質問

こんにちは、次の問題がわからないので教えてください。
「ｘについての方程式ｘ2＋2xー３＝m(xーｋ)がすべての実数mに対して実数貝を持つような定数kの値の範囲を求めよ」です
答えはこの本の解答によると　
判別式を2回も使っています。そこがよくわからないので、どうか解答お願いします

回答No.3

fukuda-h · ベストアンサー

ｘについて整理して
x^2+(2-m)x+mk-3=0
これが実数解をもつので判別式Ｄ=(2-m)^2-4(mk-3)=m^2-4(k+1)m+16≧０
というｍについての条件が出てきます。
だからここからは「すべての実数ｍについて不等式m^2-4(k+1)m+16≧０が成り立つような定数ｋの値をの範囲を求めよ」となります。
不等式m^2-4(k+1)m+16≧０はｍについての2次不等式ですからグラフの状態を考えるのがいいでっしょう
F(m)=m^2-4(k+1)m+16のグラフは下に凸の放物線ですね
m^2-4(k+1)m+16≧０はグラフがｍ軸より上にあるか（判別式＜０）または
ｍ軸に接してもいい（判別式=０）
ここがポイントでｍ軸と2か所で交わる（判別式＞0）とするとグラフはｍ軸と交わりどこかで負の値（つまりm^2-4(k+1)m+16＜０となって適しません。だからここで判別式を使ってグラフの状態を識別するのです
つまり
すべての実数ｍについて不等式m^2-4(k+1)m+16≧０が成り立つためには
判別式Ｄ/4＝{2(k+1)}^2-16≦０
k^2+2k-3＝(k+3)(k-1)≦０
よって-3≦ｋ≦１　ですね

お礼

ものすごく納得いたしました。二つ目の判別式が特に。
詳しい回答ありがとうございました。

回答No.6

R_Earl

> 判別式を2回も使っています。そこがよくわからないので、どうか解答お願いします

参考書がどんな解き方をしたのか分からないので、もしかしたら的外れなことを書いているかもしれません。
その場合は読み飛ばして下さい。

一度に「全ての実数mに対して」「実数解を持つような」定数kの値の範囲を求めるのは大変なので、
この2つのステップを分けて考えます。

1回目の判別式(D_1と置きます)は、『方程式が実数解を持つための条件』を表していると思います。
このための条件は0 ≦ D_1です。

2回目の判別式(D_2)は、『全ての実数mに対して、0 ≦ D_1が成り立つための条件』だと思います。
全ての実数mに対して0 ≦ D_1が成り立つなら、方程式が実数解をもつので、
『全ての実数mに対して、実数解を持つ』となります。
D_2が満たすべき条件はD_2 ≦ 0となります。

お礼

なるほど、改めてD1、D2の意味を知りました。
詳しく回答ありがとうございました。

回答No.4

nious

最後は、
{m-2(1+k)}^2-4(1+k)^2+16≧0 が任意のmについて常になりたつようなkを考える事になるでしょう。

お礼

niousさんの言うとおりでした。
回答親切にどうもありがとうございました。

回答No.5

take_5

別解を示しておく。

y＝ｘ2＋2xー3とy＝m(xーｋ)のグラフが全ての実数mに対して実数解（交点）を持てば良い。従って、y＝ｘ2＋2xー3のグラフとx軸との交点が（1、0）、（-3、0）であるから、-3≦k≦1であれば良い。
又、-3≦k≦1であればy＝ｘ2＋2xー3とy＝m(xーｋ)のグラフが全ての実数mに対して2交点を持つのは明らか。

お礼

なるほど、こんな手もあるんですね。グラフを使うとは、
ありがとうございました。

回答No.2

take_5

参考書の解説がわからないだけで、別に丸投げではないから削除対象ではないだろう。

x＾2＋（2-m）*x＋mk-3＝0.　xは実数から判別式≧0.
整理すると、m＾2-4（k+1）*m＋16≧0.　これが全ての実数mに対して成立するから、m＾2の係数＞0より判別式≦0.　計算して整理すると、-3≦k≦1。

お礼

なるほど、最初の条件は２つの実数解のやつでしたか。理解できたと思います。ありがとうございました。

回答No.1

noname#75273

消されそうなので、途中まで
　　x^2 + 2x - 3 = m (x - k)
⇒　x^2 + (2 - m) x + mk - 3 = 0
⇒　D = (2 - m)^2 - 4 * 1 * (mk - 3) ≧ 0

お礼

早い回答ありがとうございます。自分は数学が苦手なので、ちょっと理解がむずかしいです。ありがとうございました。