2次関数の問題が分からないので教えてください。

質問

(1)次の２次不等式を解いてください。
・3x^2+12x+14≧0
・14x－49≧x^2
・3x^2+4>2x(x+2)

(2)２次方程式 x^2－(m+2)x+2(m+2)=0　が実数解をもつように、定数mの値の範囲を定めてください。

(3)２つの放物線 y=x^2+kx+k、y=x^2－2kx+k+6がともにx軸と共有点をもつとき、定数kの値の範囲を求めてください。

ちなみに答えは、
(1)・すべての実数
　 ・x=7
・x<2、2<x（2以外のすべての数）
(2)m≦－2、6≦m
(3)k≦－2、4≦k

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

(1)3ｘ＾2+12ｘ+14≧0
　ｙ＝3ｘ＾2+12ｘ+14とおくと、判別式Ｄ/4＝6＾2-3*14＝-6＜0だから、ｘ軸と交点を持たない下に凸の放物線であることがわかる。よって、グラフよりすべての実数ｘについてｙ≧0をみたす。
よって、3ｘ＾2+12ｘ+14≧0の解はすべての実数

14ｘ-49≧ｘ＾2
ｘ＾2-14ｘ-49≦0
（ｘ－7）＾2≦0
ｙ＝（ｘ-7）＾2とおくと、グラフは頂点が（7,0）の下に凸の放物線になる。ｙ≦0をみたすｘはｘ＝7のみ。よってｘ＾2-14ｘ-49≦0の解はｘ＝7

3ｘ＾2+4＞2ｘ（ｘ+2）
3ｘ＾2+4＞2ｘ＾2+4ｘ
ｘ＾2-4ｘ+4＞0
（ｘ－2）＾2＞0
ｙ＝（ｘ－2）＾2とおくと、グラフは頂点が（2,0）の下に凸の放物線になる。ｙ＞0を満たすｘはグラフより、ｘ＝2以外のすべての実数になることがわかる。
よって、もとの2次不等式の解はｘ＝2以外のすべての実数（ｘ＜2、2＜ｘ）となる。

(2)2次方程式が実数解を持つ条件は判別式Ｄ≧0
　Ｄ＝｛-（ｍ+2）｝＾2-4*2（ｍ+2）≧0
　ｍ＾2+4ｍ+4-8ｍ-16≧0
　ｍ＾2-4ｍ-12≧0
　（ｍ-6）（ｍ+2）≧0
　ｍ≦-2、6≦ｍ

(3)ｙ＝ｘ＾2+ｋｘ+ｋがｘ軸と共有点をもつということは、ｙ＝0のときすなわちｘ＾2+ｋｘ+ｋ＝0が実数解を持つということであるから、
判別式Ｄ＝ｋ＾2-4ｋ≧0　
　ｋ（ｋ-4）≧0
　ｋ≦0、4≦ｋ・・・※1

　ｙ＝ｘ＾2-2ｋｘ+ｋ+6がｘ軸と共有点をもつとき、
　判別式Ｄ/4＝（-ｋ）＾2-1*（ｋ+6）≧0
　ｋ＾2-ｋ-6≧0
　（ｋ-3）（ｋ+2）≧0
　ｋ≦-2、3≦ｋ・・・※2

※1と※2の共通部分をとって、
ｋ≦-2、4≦ｋ

お礼

解りやすい説明をありがとうございます。