二次方程式x2-3x+4=0の2つの解をα、βとするちき、α+1,β+

質問

二次方程式x2-3x+4=0の2つの解をα、βとするちき、α+1,β+1を解とすると二次方程式を作れ　

複素数の範囲で考えて、次の方程式を因数分解しなさい
x2-x+3

x>yならば、6x+2y>3x+5yであること証明せよ

a>0のとき、a+a分の１＞2を証明せよ

これらの問題がどうやっても解けません　特に証明系が最も難しいです　何かコツなどがありましたら教えてもらないでしょか？　すみません　おねがいします

回答No.3

ONEONE · ベストアンサー

ちなみに１問目で左辺の正式をf(x)とおくと
f(x) = 0の解がαとβだから
f(α) = 0，f(β) = 0が成り立ちます。

なのでα+1, β+1を解にしたかったら
f(x)をf(x - 1)とすればいいです。

なぜならxにα+1, β+1を代入すれば
f(α) = 0，f(β) = 0が成り立つからです。

回答No.2

m-bo

・x^2-3x+4=0は解の公式からx=(3±√5i)/2です。

α=(3+√5i)/2、β=(3-√5i)/2 とおくと、α+1=(5+√5i)/2、β+1=(5-√5i)/2となります。

解と係数の関係(ax^2+bx+c=0における解がx=x1,x2のとき、x1+x2=-b/a、x1x2=c/a)を使うと

(α+1)+(β+1)=5、(α+1)(β+1)=15/2 から、-b/a=5、c/a=15/2となります。

aに適当な数値を当てはめてみると(a=2とする)これはb=-10、c=15に対応します。

よってα+1、β+1が解の２次方程式は2x^2-10x+15=0となります。

・x^2-x+3=0の２次方程式を考えます。

この解はx=(1±√11i)/2となります。つまりこの２次方程式は

(x-(1+√11i)/2)(x-(1-√11i)/2)=0と書き換えられます。

これをもう少しまとめると (2x-1-√11i)(2x-1+√11i)=0となります。

つまりx^2-x+3=(2x-1-√11i)(2x-1+√11i)

・6x+2y>3x+5yを計算すると3x>3yつまりx>yです。自明です。

・相加相乗平均の関係(A≧0,B≧0のときA+B≧2√AB)からA=a,B=1/a と考えると

a+1/a=2√(a*1/a)≧2です。

証明系に限らず数学の問題を解くにはたくさんの問題に触れ、いろいろなパターンを覚えるのがいいと思います。

回答No.1

ONEONE

α, βを解にもつ二次方程式は
(x - α)(x - β) = 0とかけます。
α + 1, β + 1を解にもつ二次方程式は
(x - (α + 1))(x - (β + 1)) = 0とかけます。

左辺 - 右辺を計算して0以上を示せばよいです。

三問目
a + (1/a)＞2ですか？ a = 1でa + (1/a) = 2だから問題がおかしいです。
a + (1/a)≧2ならば相加相乗平均習ってたらそれでできます。