２次不定方程式

質問

次の不定方程式の整数解を求めよ。(文字の直後の数は指数です。)

2X2+3XY-2Y2-X+8Y-10=0

因数分解して

整数×整数＝一定の整理

の形にしたいのですがうまくできませんでした。

Xについて整理し残った項を

-(Y+a)(2Y+b)

とおいてキレイに因数分解できるための条件

2a+b=8
-a+2b=-1

を解いて因数分解したのですが

一定の整理=148

と大きい数になってしまい途方にくれています。

どなたかわかる方、このような、定数をいじって因数分解する方法を教えて下さい。
因みに答はわかっていますので、因数分解のやり方のみで構いません。お願い致します。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

もとの式を整理して
2X^2+(3Y-1)X-(2Y^2-Y)-10=0
質問者がおいたとおり
2X^2+(3Y-1)X-(Y+a)(2Y+b)+ab-10=0
と変形して
(2X-Y-a)(X+2Y+b)=10-ab
として、展開して式と元の式を比較すると
2a+b=-8
-a+2b=-1
となります。つまり、係数比較した際に得られた式の一つ目の符号が逆だったのです。これならa=-3.b=-2となり左辺を積の形にしたときの右辺の値が4をなり、考えられる場合の数が非常に少なくなります。

お礼

回答ありがとうございます。ご指摘の通り計算したら、無事に答が導きだせました！
ケアレスミスとはとても言えないくらい、自分にとっては複雑な計算でした。

ホントに助かりました。ありがとうございます！

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞このような、定数をいじって因数分解する方法を教えて下さい。
というよりも、2次方程式の解の公式に立ち戻って考えた方がよいかと。
たとえば、元の方程式を xの降べきの順に整理して、
2x^2+ (3y-1)x- 2y^2+ 8y- 10＝ 0

これを x＝・・・の解の公式に当てはめてみます。
xが整数となるためには、まず解の公式の「ある部分」も整数でなければなりません。
その条件（かつ、0以上になることも合わせて）を考えると、yが絞り込まれるはずです。

あとは、それぞれの yの値に対して、xの整数として得られるものを探せばよいです。

お礼

こんなに早くお返事をありがとうございます。

この二次不定方程式は楕円型ではなく双曲線型なんですよ(><)なので判別式Ｄが常に正になってしまうんです。(><)

また質問した際にお返事 を下さるとうれしいです。