解の公式を利用した2字式の因数分解

質問

次の2字式を複素数の範囲で因数分解せよ
x^２ -3x -4
という問題です。
参考書の解説をみてなぜと思うところがあるので教えていただきたいです。

この2字式の解は３+-√41/4 なのですが これを因数分解すると 2（x-３+√41/4 ）（x-３-√41/4）
となるようなのですが　2点わからないです。

どうしてカッコの前の2がひつようなのでしょうか。
あとどうしてカッコの中の2つの項の結びがマイナスなのでしょうか。

わからないです。
教えてください。
よろしくお願いいたします。

回答No.5

nananotanu · ベストアンサー

> どうしてカッコの中の2つの項の結びがマイナスなのでしょうか。
> 何度もすみません

方程式の1つの解がAだとします。Xに代入したら、式の計算結果が０になる(方程式が成り立つ)、ってことですよね？
これって、即ち、（X－A）のことではないですか？　　(XにAを代入してみて)

お礼

回答ありがとうございました。
理解できました。
2字式を2次方程式にしてこれを因数分解する。
項が複雑になってくると混乱してしまうことがあります。
もっと計算の練習をしなければいけないなと思います。
何度も本当にすみません。
ありがとうございました。

回答No.6

info22_

問題の方程式を間違えていませんか？

誤：x^２ -3x -4
正：2x^2 -3x -4

訂正したとして

>の2字式の解は(３+-√41)/4 なのですが

「２次式」＝０とおいた２次方程式
　2x^2 -3x -4＝0 ...(★)
の解をα,βとおくと2次方程式の左辺は次式
　2(x-α)(x-β)＝0　...(●)　
のように因数分解した形で書く事ができます。

>どうしてカッコの前の2がひつようなのでしょうか。

先頭の2は、2次の係数を「因数分解前の式と因数分解後で」比較すれば２が付くことは分かるでしょう。
因数分解しても式の変形なので、括弧を外せは元の式に戻らないと、因数分解した式とは言えません。

>どうしてカッコの中の2つの項の結びがマイナスなのでしょうか。
x=αは解ですから(●)の式にの左辺に代入すれば式がゼロにならないといけません。
つまり(●)の式のαの前にマイナスがつかないとダメです。
x=βの解についても同様に、(●)の式のβの前にマイナスがつかないとダメです。
（高校の数学の教科書で確認下さい。）

α、βは(★)の２つの解なので解の公式より
　α,β=(3±√(9+4*2*4)/4=(3±√41)/4

このαとβを(●)に代入すれば

>これを因数分解すると 2{x-(3+√41)/4}{x-(3-√41)/4}　...(◆)
>となるようなのです

(●)の左辺は(◆)のように因数分解されます。

お礼

ありがとうございます。
わからなかったところがわかりました。
とてもわかりやすかったです。
丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.4

fjnobu

x^２ -3x -4=0 の式の解なら
（３＋√（－７））/２　と　（３－√ー７/２）　ですが、問題か解が違うのでしょう。

お礼

回答ありがとうございました。
問題解決しました。
やっぱり問題式を間違えていました。
すみません。
ありがとうございました。

補足

すみません。
間違えていました。
２x^２ -３x -４　この2字式を、複素数の範囲で因数分解せよ。　でした。

引き続き質問してもいいですか？

参考書の解説では、
『２x^２ -３x -４=0 を解くと…x＝３+-√41/4 　
よって
２x^２ -３x -４＝２（x-３+√41/4 ）（x-３-√41/4）』
となっています。

どうしてカッコの中の2つの項の結びがマイナスなのでしょうか。
何度もすみません
よろしくお願いします。

回答No.3

asuncion

＞x^２ -3x -4

式が本当にこれで正しいのであれば、
(x+1)(x-4)
です。

＞次の2字式

次の２次式

＞この2字式の解は３+-√41/4

２次式に解はありません。２次式=0とおいて得ることができる「２次方程式」には解があります。

お礼

回答ありがとうございます。
すみません。
問題の式を間違えてしまいました。
2字式と2次方程式についても理解できていなかったのですね。私。
指摘していただいてその違いがわかりました。
同じものだと思っていたようです。
気がつくことができました。

ありがとうございます。

回答No.2

nananotanu

要は、因数分解を使って二次方程式を解くときの、逆の作業をすればいいんです。

お礼

回答ありがとうございます。
そうなのですよね。
根号がはいってきたり、項の数が増えたりしてくるとわからなくなってしまうときがあります。
逆の操作をするとよいと考えるとよいですね。
わからなかったことがわかりました。

ありがとうございました。

回答No.1

nananotanu

前が２：問題か、答の間違い。

マイナス：方程式の1つの解がAだとします。Xに代入したら、式の計算結果が０になる(方程式が成り立つ)、ってことですよね？
これって、即ち、（X－A）のことではないですか？　　(XにAを代入してみて)