因数分解と解の公式と２次方程式

質問

度々すみません。
一昨日２次方程式のある設問についていろいろな方に解き方をご教授いただきました。質問した問題については、説明をいただいた通り解いてみて「なるほど」と思い、答えまで辿り着きました。しかし、次の設問に取り掛かるとまた突っ掛かりまして…。決まって”ａｘの２乗＋ｂｘ＋ｃ=０”から因数分解するところでペンが止まってしまいます。
例えば、ｘの２乗－７ｘ＋１０＝０なら、足して－７、かけて１０なので、(ｘ－５)(ｘ－２)というのは分かります。ｘの２乗－３ｘ－１８＝０も同様に、足して－３、かけて－１８なので、(ｘ＋３)(ｘ－６)というのも分かります。ですが、ｘの２乗－２ｘ－１＝０は、足して－２、かけて－１と考えても解けません。今一度、因数分解の方法をお教えいただきたいです。
また、ｘの２乗＋５ｘ＋２＝０や、４ｘの２乗＋１２ｘ＋９＝０などは、答えを見ると解の公式を使った解答になっています。これらは因数分解では解答できないのでしょうか。長くなり申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

回答No.10

noname#231526 · ベストアンサー

回答７の補足質問に対する回答です。
●（１）
　問題の方程式は
x^2 - x/4 - 1/2 = - 1/8
ですね。
　8x^2 - 2x -3 = 0 まではよろしいです。
　もしここで因数分解するならば、たすきがけをします。
　たすきがけも十分練習すれば比較的簡単にできるようになりますが、とりあえずこの式の場合
　(2x + 1) (4x - 3) = 0 となります。
　これから、答えは、-1/2 と 3/4 であることが分かります。
　因数分解が分からなかった場合、判別式Dをまず計算してみます。
　D = (-2)^2 - 4*8*(-3) ←　ここで * はかけ算を表しています。パソコン上で数式を表すときのお約束で、紙の上で書くときには「×」で書いてくださいね。
　　= 4 + 96
　　= 100 = 10^2
　です。あなたの判別式の計算も合っていますね。
　100 = 10 * 10 = 10^2 なので、ここで√が外れます。
　√100 = 10 です。
　解の公式に当てはめると、
　x = ( -(-2)±√D ) / 2*8 でこのルートDは上の計算のように 10 ですから、
　x = ( 2 ± 10 ) /16 でプラスの方を計算すると 3/4 マイナスの方を計算すると -1/2 が出ます。

●（２）
　問題の方程式は
　0.2x^2 - 1.9x = 1 ですね。両辺に１０をかけて整理していく過程はあっています。
　2x^2 - 19 - 10 = 0
　最後のところで √441 となってますね。441=21^21 ですので、これも√が外れます。√441 = 21です。ということは、簡単な因数に分解できるはずで、
　これもたすきがけで解くと
　(2x + 1) (x - 10) = 0 となります。あとは自分でやってみてください。

●（３）２ｘ(ｘ－２)－(ｘ＋１)(ｘ－２)＝０
　解き方の方針はそれでもよろしいのですが、ちょっと損なやり方をしています。（後述）
　そして、-(x + 1) (x - 2) の計算の時に、符号の間違いがあります。
　正しくは、-x^2 + 2x - x + 2 となりますよ。良く見比べて考えてみましょう。
　どうしても間違いやすいならば、いったん　(x + 1) (x - 2) を計算してから、その後で全体に - をかけると良いでしょう。
　結果は、x^2 - 3x + 2 = 0 となります。因数分解できるのでやってみましょう。

　さて、（後述）と書いた部分ですが、実は (x - 2) が前の項にも後ろの項にもありますので、(x -2) でくくるということができます。
　(2x - (x + 1) ) (x - 2) という具合にくくれます。分かります？　分かりづらいなら、一度 (x - 2) = A とでも置いてみてください。
　2x * A - (x + 1) * A = 0
　これならくくりやすいですね。こうやって計算すると、結果が既に因数分解された形になっているのでらくちんです。
　(x - 1) (x - 2) となります。先ほど　x^2 - 3x + 2 を因数分解した結果もこうなりましたか？
　後は簡単ですね？

●追伸
　1～9 までの二乗は九九で覚えていますが、10 ～ 21 くらいまでの二乗も覚えておくと便利です。結構よく出てきます。361を何とか因数分解しようと考えているのと、覚えていてさっと19^2 と分かるのでは試験の時にかなり違ってきます。
　10^2 = 100
　11^2 = 121
　12^2 = 144
　13^2 = 169
　14^2 = 196
　15^2 = 225
　16^2 = 256
　17^2 = 289
　18^2 = 324
　19^2 = 361
　20^2 = 400
　21^2 = 441
　暇があれば覚えてみましょう(^○^)／

お礼

nekochariさん、長々と引っ張りましたが、おかげ様でようやく問題解決に至りました。１０～２１までの二乗もパッとひらめくようにちゃんと覚え、勉強を続けていきます。
本当にありがとうございました。

回答No.9

midori-makibao

回答No5の者です。
見ないうちにNo7のnekochariさんがわかりやすく答えてくれてましたね。ちょっとだけ補足させて下さい。
==================================================
「X^2 - 2X - 1 + 1 = 1→両辺に1を足します」→これは、ｘの係数の半分の２乗ということでしょうか？だとしたら、奇数の場合はどうなるのでしょうか？(1,3,5,7,11,13,15...など)
--------------------------------------------------
これに関しては、因数分解の基本の公式である(aX+b)^2=a^2X^2+2abX+b^2という公式を使用するのに変形しただけです。なのでX^2+5X+2をこの形にするのであれば、公式より、
a^2x^2=(1)X^2→なのでa^2=1 ∴a=1
2ab=5→ab=5/2→a=1なのでb=5/2 ∴b=5/2
ここでの注意として、b^2=2→b=±√2を先にしないことです。ここの係数は加算することによって変化できるからです。
上記2式より、a=1とb=5/2をそれぞれ代入してみると、
(X^2+5/2)^2となり、なりますが(X^2+5/2)^2=X^2+5X+25/4となります。ここでX^2+5X+2の形にするには、-25/4+2を加算した値つまりX^2+5X+25/4-25/4+2でX^2+5X+2の形になります。
∴X^2+5X+2=(X^2+5/2)^2-25/4+2となります。
==================================================
「(X-1+√2)(X-1-√2)=0」→ここからの因数分解の仕方がわからないのです…。
--------------------------------------------------
これは、数学の基本である0×a=0ということがわかっていれば簡単に理解できますよ。
上で記載したように、0×a=0なので、(X-1+√2)(X-1-√2)=0は、(X-1+√2)=0か(X-1-√2)=0になれば0=0になり左辺=右辺とりよいのです。(X-1+√2)=0ですと0×(X-1-√2)となり左辺=右辺=0となります。同様に(X-1-√2)=0ですと(X-1+√2)×0となり、これまた左辺=右辺=0になります。なので(X-1+√2)=0、(X-1-√2)=0のどちらかを満たせばいいので、それぞれをXについて解きX=の形で表せばいいのです。

お礼

midori-makibaoさん、何度もお付き合いいただきありがとうございました。参考にさせていただきます。

回答No.8

noname#231526

回答７の訂正です。
●回答５に対する補足質問の（１）
で、分数になるのはいいのですが、例が間違ってました。
（誤）---------------------------------------
奇数の場合には、分数になりますね。X^2 - X - 1 = 0 → X^2 - X + 1/2 - 1 = 1/2 両辺に 1/2 を足します。
（正）---------------------------------------
奇数の場合には、分数になりますね。X^2 - X - 1 = 0 → X^2 - X -1 + 1/4 = 1/4 両辺に 1/4 を足します。
---------------------------------------
ax^2 + bx = a(x + b/2a)^2 - b^2/4a ですから回答５のやり方ですと b^2/4a を両辺に足すことになります。x の係数 b の半分の二乗（をさらにx^2の係数aで割ったもの）というご理解でよろしいです。

お礼

●回答５に対する補足質問の（１）
→ありがとうございます。４分の１と覚えておきます。
●回答５に対する補足質問の（２）
→展開と因数分解の問題演習が足りなかったために、気付かなかったと自覚しました。問題数をたくさんこなすように努めます。
●回答５に対する補足質問の（３）
→わかりました。納得しました。

回答No.7

noname#231526

回答５と回答６の補足質問に対する回答です。及び、元質問に対する追加回答です。
●回答５に対する補足質問の（１）
---------------------------------------
「X^2 - 2X - 1 + 1 = 1→両辺に1を足します」→これは、ｘの係数の半分の２乗ということでしょうか？だとしたら、奇数の場合はどうなるのでしょうか？(1,3,5,7,11,13,15...など)
---------------------------------------
　奇数の場合には、分数になりますね。X^2 - X - 1 = 0 → X^2 - X + 1/2 - 1 = 1/2 両辺に 1/2 を足します。

●回答５に対する補足質問の（２）
---------------------------------------
「(X - 1)^2 - 1 = 1→左辺前半の X^2 - 2X + 1 は(X-1)^2」→これは、どうしてこうなるのでしょうか？
---------------------------------------
(X ± 1)^2 = X^2 ±2X +1 これは 見ただけでピンと来るくらいに習熟しておきましょう。(A ± B)^2 = A^2 ± 2AB + B^2 という基本中の基本の公式です。
●回答５に対する補足質問の（３）
---------------------------------------
「(X - 1 + √2) (X - 1 - √2) = 0」→ここからの因数分解の仕方がわからないのです…。
---------------------------------------
　この形で既に因数分解は完了しています。後は括弧の中をそれぞれ =0 と置くだけですね。
(X - 1 + √2) (X - 1 - √2) = 0
X - 1 + √2 = 0 または X - 1 - √2 = 0
∴ X = 1 - √2 または X = 1 + √2
（まとめて X = 1 ± √2 と書きます）

●回答６に対する補足質問の（１）
---------------------------------------
６分の－８±２は、ｘ＝－１、ｘ＝－３分の５となるらしいのですが、どうしてこうなるのでしょうか？
---------------------------------------
(-8 ± 2 ) / 6 は
(-8 + 2 ) / 6 または (-8 - 2 ) / 6 をまとめて書いたものです。
ですから、この２つに分けてそれぞれ計算します。
(-8 + 2 ) = -6 ですから
(-8 + 2 ) / 6 = -6 / 6 = -1
(-8 - 2 ) = -10 ですから
(-8 - 2 ) / 6 = -10 / 6 = -5 / 3 （分子分母を２で割りました）

●元質問に対する追加回答
ax^2 + bx + c = 0という実数係数の二次方程式の場合、
判別式 D = b^2 -4ac が解の公式の√の中に入っていますから、D が何か簡単な数の二乗になっているならば、√が外れて解が有利数解になりますので、因数分解でうまく解けると思いますが、そうでなければ解の公式を使う方がよいでしょう。

　例えば、ご質問にある例では、
x^2-7x+10=0 ですと、D=(-7)^2-4*1*10 = 49-40 = 9 = 3^2 ですから、簡単な数で因数分解できることが分かります。
x^2-3x-18=0 ですと、D=(-3)^2-4*1*(-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2 ですから、これも同様です。
x^2-2x-1=0 ですと、D=(-2)^2-4*1*(-1) = 4+4 = 8 ですから、√が外れず有理数を用いた因数分解は不可能であることが分かります。解の公式を使うのがよいでしょう。
x^2+5x+2=0 ですと、D=5^2+4*1*2 = 25+8 = 33 ですから、同様に解が無理数となりますので解の公式を用いるのがよいでしょう。
4x^2+12x+9=0 ですと、D=12^2-4*4*9 = 144-144=0 ですから、√の中が消えてしまって、重根となることが分かります。解の方式を使わずとも (mx+n)^2=0 の形に因数分解できます。
　ちょっと考えて因数分解が思いつかなかったらとりあえず判別式 D の値を計算してみると良いと思います。

補足

nekochariさん、はじめまして。回答いただきありがとうございます。
●回答６に対する補足質問の（１）＆●元質問に対する追加回答
→解の公式についてなのですが、質問した問題のように整数ならわかりましたが、√がつくとどうなるのでしょう？以下の問題を解の公式で解いてみたら、全部√が付きました。
(１)ｘの２乗－４分の１ｘ－２分の１＝－８分の１
　　ｘの２乗×８－４分の１ｘ×８－２分の１×８＝－８分の１×８、８ｘの２乗－２ｘ－４＝－１、８ｘの２乗－２ｘ－４＋１＝０、８ｘの２乗－２ｘ－３＝０、ｘ＝２×８分の－(－２)±√(－２)の２乗－４×８×(－３)＝１６分の２±√４＋９６＝１６分の２±√１００＝１６分の２＋√１００，１６分の２－√１００（？）
※この場合、(８ｘ－３)(８ｘ＋１)＝０、ｘ＝８分の３，ｘ＝－８分の１という因数分解でもいいのでしょうか？
(２)０．２ｘの２乗－１．９ｘ＝１
　　０．２ｘの２乗×１０－１．９ｘ１０＝１×１０、２ｘの２乗－１９ｘ＝１０、２ｘの２乗－１９ｘ－１０＝０、ｘ＝２×２分の－(－１９)±√(－１９)の２乗－４×２×(－１０)、４分の１９±√３６１＋８０、４分の１９±√４４１＝４分の１９＋√４４１，４分の１９－√４４１（？）
(３)２ｘ(ｘ－２)－(ｘ＋１)(ｘ－２)＝０
　　２ｘの２乗－４ｘ－ｘの２乗－２ｘ＋ｘ－２＝０、ｘの２乗－５ｘ－２＝０、ｘ＝２×１分の－(－５)±√(－５)の２乗－４×１×(－２)、２分の５±√２５＋８、２分の５±√３３＝２分の５＋√３３，２分の５－√３３（？）
それとも、解の公式以前の計算過程で誤りがあるために、こんな解の公式になってしまうのでしょうか？

回答No.6

age_momo

x^2-7x+10=0 を例に説明しますね。
考え方なんですが『足して-7、かけて10』ではなく、
『かけて10になるもので足して-7になるものがあるか？』
と考えた方が早いですよ。足して-7の整数の組み合わせは無限にありますが、
かけて10は1と10、2と5とそれらの負の組み合わせ( -1と-10,-2と-5です)
しかありません。足してできるのは11,7,-7,-11だけです。
それ以外は質問者さんの言う因数分解はできません。
どちらかの係数が分数の場合は若干具合が違ってきますが、
まずはここをマスターしましょう。

x^2-x-1=0
かけて-1なら1と-1しか有りません。ということは-1が出てきて
因数分解できるのはx^2-1=0ぐらいだと分かります。
だからさっさと解の公式に持ち込めばいいんです。

x^2+5x+2=0も同じですね。-2と-1か1と2だけですので5にはならない事がすぐ分かりますね。
とすればさっさと解の公式使いましょう。

因数分解の問題を解く練習をしていけば、だいたい一目見て因数分解
可能かどうか分かるようになってきますよ。#1さんが言っておられるように
因数分解にはセンスが必要ですがそれは問題を解く事で養われます。
因数分解そのものは今後も必要な能力なので是非今磨いておいてください。

補足

ご丁寧にありがとうございます。実は解の公式も理解がイマイチなんです…。公式どおり、ａｂｃに当てはまる数字をはめていって、それらを計算するところまでは何とか行けます。しかし、ｘ＝を出そうとする時に「あれ？」と止まってしまいます。
例えば、６分の－８±２は、ｘ＝－１、ｘ＝－３分の５となるらしいのですが、どうしてこうなるのでしょうか？それが分からないので、解の公式も使えずにいます…。

回答No.5

midori-makibao

二次方程式の解の公式を利用してもできますが、できない場合は、su-gakurookieさんが質問内容で記載した内容で解けますよ☆
X^2-2X-1=0
を変形してみましょう。
X^2-2X-1+1=1→両辺に1を足します。
X^2-2X+1-1=1→左辺を並べかえました。
(X-1)^2-1=1→左辺前半のX^2-2X+1は(X-1)^2
(X-1)^2=2→左辺の-1を右辺に移項
X-1=±√2
X=1±√2
したがって
(X-1+√2)(X-1-√2)=0
となります。

補足

ご丁寧にありがとうございます。
あの、「X^2-2X-1+1=1→両辺に1を足します」→これは、ｘの係数の半分の２乗ということでしょうか？だとしたら、奇数の場合はどうなるのでしょうか？(1,3,5,7,11,13,15...など)
「(X-1)^2-1=1→左辺前半のX^2-2X+1は(X-1)^2」→これは、どうしてこうなるのでしょうか？
「(X-1+√2)(X-1-√2)=0」→ここからの因数分解の仕方がわからないのです…。いろいろすみません。

回答No.4

tarame

２次方程式を解くときは、
x^2-7x+10＝0 のように
和(-7)と積(10)が簡単にわかる場合は因数分解を使います。
和と積が簡単にわからないときは、解の公式を使うのがよいかと思います。

どうしても、因数分解でやりたいというならば
x^2－2x－1＝(x－1)^2－2＝(x－1)^2－(√2)^2
＝(x－1＋√2)(x－1－√2)
でしょうか？

お礼

使い分けるということですね。
ありがとうございました。参考にします。

回答No.3

so_that_too

４ｘの２乗＋１２ｘ＋９＝０の方程式を解く場合は両辺を４で割ることで解の公式を使わずに解けます。

お礼

ありがとうございました。参考にします。

回答No.2

masa869

因数分解は「足して-7、かけて10」というやり方が基本です。

解の公式で答えがα,βの２つ出たとします。
この時、ax^2+bx+c=0はa(x-α)(x-β)=0と書き換えられます。
（実際に数字を当てはめてみて計算すれば分かると思います）

「足して～、かけて～」に上のαとβを当てはめればいいのです。でも、その２つの数字が複雑な数（分数だったり√があったり）だと答えをパッと頭に思い浮かべられる人はまずいないでしょう。そのための解の公式、だと思ってください。

なお、４ｘの２乗＋１２ｘ＋９＝０については「たすき掛け」という方法を使えば、解の公式を使わずに解く事ができます。興味があったら検索して調べてみてください。

補足

回答ありがとうございます。
ａ(ｘ－α)(ｘ－β)＝０は、どんな問題にでも対応できるのでしょうか？
例えば、ｘの２乗－７ｘ＋１０＝０(足して－７、かけて１０)はもちろんですが、ｘの２乗－６ｘ＋４＝０(足して－６、かけて４…だけどできない)というような問題でも使えるのでしょうか？
また、ａ(ｘ－α)(ｘ－β)＝０の符号は必ずマイナスなのでしょうか？それとも問題によって変わるのでしょうか？(例えば、”足して－７、かけて１０”なら、(ｘ－７)(ｘ＋１０)という風に)

回答No.1

finneganswake

x2-2x-1=0
は解の公式より
x=1±√2
だから、(x-1-√2)(x-1+√2)=0
と因数分解できるけど、そんなもの普通の人は思いつかないよ。

たまに解の公式を使って解いたら整数だけになるってことはあるんだけど。そういうことは結構、センスによって左右されるような。私はいっとき、解の公式だけでまず解いていたな。

お礼

ありがとうございました。参考にします。