因数分解を解の公式で行う上手い方法はありませんか？

質問

ご存じの方がいらっしゃいましたら、教えてください。

ある数学の本に、
3x^2-5/2ax-1/2a^2という式があったのですが、因数分解をするには複雑だと思い、
解の公式に当てはめ、(x-a)(x+1/6a)と因数分解しました。
しかし、本の方では、(x-a)(3x+a/2)となっており、明らかに違います。
自分でよく考えた所、解の公式は3x^2-5/2ax-1/2a^2=0の時のｘの解であり、答えが違うのは当たり前だ。と言うことになりました。
しかし、因数分解が気が付かない事もあり、どうにかして解の公式で素早く解きたいのですが、どなたか方法をご存じの方はいらっしゃいませんでしょうか？

それとも、自力でどうにかして因数分解をするしか方法は無いのでしょうか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

これは、あと少し工夫をすればよいのです。

(x-a)(x+1/6a)　この式ではx^2の係数が"1"になります。
しかし、実際の式のx^2の係数は"3"です。つまり、この式を3倍すればよいのです。
ですから求める因数分解は
3(x-a)(x+1/6a)
となります。これでOK。

もし、解の公式を使わずに行くのなら、式の中の分数を極力なくす努力をすればよい。
3x^2-(5/2)ax-(1/2)a^2=(1/2)(6x^2-5ax-a^2)
としてしまえば分数が入らない式の因数分解となるので考えやすいでしょう。

お礼

ありがとうございます！
解の公式はx^2の係数が"1"になるように出来ているのですね！
分数を極力減らせばよいというのも眼からウロコです
基本的なことでしょうけれど、とても大事な教えをどうもありがとうございました！

回答No.3

proto

二次方程式ax^2+bx+c=0の二つの解がα,βのとき、ax^2+bx+cは
　　ax^2+bx+c = a(x-α)(x-β)
と因数分解されます。
質問者さんは右辺のaを忘れて、
　　ax^2+bx+c = (x-α)(x-β)
と間違った覚え方をしているのです。
良い機会なので正しい理解で覚えなおしてくださいね。

お礼

そうなのですよね。
因数分解を再び展開したときに、元と違うので？？となっていました。
本当に分かりやすい説明をありがとうございます！
これから安心して因数分解をしていけます。

回答No.2

sanori

こんばんは。

＞＞＞自分でよく考えた所、解の公式は3x^2-5/2ax-1/2a^2=0の時のｘの解であり、答えが違うのは当たり前だ。と言うことになりました。

その考え方は、ある程度正しく、ある程度間違っています。

解の公式から
(x-a)(x+1/6a)
としたのは、途中経過としては間違いではありません。

元の式で、ｘ^2　の係数が３でしたから、それと矛盾しないように、３をかけて
３(x-a)(x+1/6a)
とすれば、済むことです。これで、正しいです。
（後ろのかっこの中に３をかければ、模範解答と同じになりますが、
そうせずに、３(x-a)(x+1/6a)　としても正解です。）

以上、ご参考になりましたら。

お礼

ありがとうございます！
解の係数の本質的な所がつかめました
基本的な事でしょうけれども、ワタシにとってとても貴重な教えをありがとうございました。