定数部分が巨大な二次方程式の因数分解

質問

定数部分が巨大な二次方程式を因数分解する時どうしても時間がかかってしまいます。
今回の模試でも

2n^2-n-378=0

という方程式を解かなくてはいけなかったのですが、
解けませんでした。

--
因みに答えは
(2n+27)(n-14)=0
です。
--

実際、因数分解できるのかどうかも分からないのに
因数分解に挑むのも無謀なので
解と係数の関係の公式を使ってとも思いましたが、
定数部分が大きいためルートの中の計算が大変です。

こういう場面ではどのように因数分解したほうがよいのでしょうか。
因数分解で悩むのは恥ずかしいですが、
よろしくお願いします。

回答No.7

einskaz · ベストアンサー

みなさんがしっかりした解法を紹介してますので、違う観点から解き方を考えてみたいと思います。

私が学生時代に模試でこの手の問題を解くときは、求める解が整数解であることからはなっから因数分解できるものとして二次方程式を解きます。
特に定数項が大きくて、nの係数が-1という今回のような問題はたすきがけで考えれば、１つ違いの整数の積が定数項の2倍である
756になるものを探すだけです。
私は計算が苦手なので756が何かける何なのか予測するときに計算の簡単な２乗の数字のどの間にあてはまるか考えます。
今回の場合は25の２乗と30の2乗の間に収まることがすぐにわかるので、26、27、28、29のなかで掛け合わせた時に
1の位が６になるものを探すと27*28しか残らず、実際に計算すると756になることが確認できます。
これでたすきがけの組み合わせが見つかり(2n+27)(n-14)と因数分解できるなぁとわかるわけです。

ｎの係数が2，3，4などの場合でも、それほど大きな数字でない場合は同じような感じで予測して解きます。

試験の場合は時間的な制約があり、私みたいに計算が遅い人間はやはり数字が大きなものの計算はしたくないし、
できるかぎり時間もかけてくないと思います。解法を考えるほうに時間を割きたいですしね。
参考になるかどうかわかりませんが、単純な計算問題でない場合はある程度は解を予測して計算していくことも必要だと思います。

あと、因数分解はこれまでの問題演習で培ってきた経験と閃きではないかと私は思います。

お礼

>１つ違いの整数の積が定数項の2倍である
>756になるものを探すだけです。
あ、756になるものを探せば良いんですか。
-----------------
２　２７→２７
　×
１　１４→２８
-----------------
27*28=756
成る程本当だ!
二次の係数をかけた数から差を求めるんですね。

>計算の簡単な２乗の数字のどの間にあてはまるか考えます。
>今回の場合は25の２乗と30の2乗の間に収まることがすぐにわかるので、
>26、27、28、29のなかで掛け合わせた時に
>1の位が６になるものを探すと27*28しか残らず、
>実際に計算すると756になることが確認できます。
一次の係数が小さい時に使えるテクニックってことですね。
こういう事を考えつくってすごいですね～。

>解を予測
一の位が６になるものを探す
みたいな考え方って結構使えそうですよね

参考にさせてもらいます。
ありがとうございました。

回答No.13

hiccup

2n^2 - n - 378 = 0 が、整数 a、b を使って
(2n-a)(n-b) = 0　と因数分解されるとすると
a+2b=1、ab=-378
ですが、ここから
a と b は互いに素で、b の方に 2 の因数が集まっているということがいえます。したがって確かめるのは 378 の素因数
2、3、3、3、7
の組み分けを全て確かめるのではなく
2、27、7
の組み分けを確かめるだけで済みます。あとは差が 1 になるようにするのですから苦もなく見つかります。

A=2n とすると、ANo.5 さんご指摘の
A^2-A-756=0
ですが、やはり係数 1 と 756 が互いに素なので、整数解を持つならそれらは互いに素になり、上と同様にできます（同じものですが）。素因数分解に累乗があることが救いになっています。

x^2 + Mx + N = 0（M、N が整数）で、M が m で割り切れ、N が m^2 で割り切れるなら、x=mt とおくことで係数の小さい t の二次方程式に変形できます。係数が小さくなるぶん、あつかいやすいと思います。

お礼

遅くなりました。
＞2、27、7
ははぁ。
これだけ見ると見つけやすいですね。
参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.12

noname#52504

#8です。

>解の絶対値が14くらいということはどこから来るのでしょう？

書いてありますように、13では小さすぎ15では大きすぎるから、です。

>左右ほぼ対象というのは理解出来ます。

二つの解をα，βとすると、
解と係数の関係より、二解の積αβ＝-378/2=-189というのはOKですか？

左右ほぼ対称
⇒　二解の絶対値がほぼ等しい　|α|≒|β|
⇒　解の二乗が二解の積の絶対値にほぼ等しい　α^2＝|α||α|≒|α||β|＝|αβ|
⇒　解の二乗が189にほぼ等しい　α^2≒189
⇒　解の絶対値が189の平方根にほぼ等しい　|α|≒√189

で、189の平方根がどのくらいの値かといえば、
13^2＝169，15^2=225なので、計算するまでもなく14前後だということはわかる、
というだけのハナシです。

もっとも、「こういうケースではざっとみただけで大体の値はわかりますよ」
というのが私のアプローチのポイントですから、
ここまで突き詰めて考える必要があるのであれば、メリットはありませんけど…。

お礼

センター試験をうけたりで遅くなりました。
ああ、理解しました。
いま、２次試験の勉強をしているのですが、
演習の中でそういう考え方って、意外とでてくるものですね。
参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.11

noname#101087

>(x,y,z)=(0,3,0)のとき
>で(1)より27-2*(378/27)=27-2*14=27-28=-1≠1
>どこが違うんだろう？

再度の舌足らずでしたね。ご容赦を.... 。

　　A = ±(2^x)*(3^y)*(7^z)
の±が要るんですね。

複号を負に。
A=-3^3=-27

お礼

あーそうか。成るほどぉ。
色々ありがとうございました。
時間かかりますけどこういうやり方もあるんですね。
参考にさせて頂きます。
ありがとうございました。

回答No.10

noname#101087

ミス訂正。
-------
　378 = 2*3^3*7

回答No.9

noname#101087

「わざと」の部分もありますが、舌足らずになってました。

二次式にしては、元も子もありません。

　　A-2*(378/A) = 1
　　B = -378/A
を解くのでした。

整数解だったら、378 を素数分解(378 = 2*3^2*7)して、
　　A = (2^x)*(3^y)*(7^z)
の形に限られる、ということですよ。

再トライしてみて。

お礼

A = (2^x)*(3^y)*(7^z)・・・(1)
ただし
x=0 or 1
0<=y<=3
z=0 or 1
この時組み合わせは
(x,y,z)=
(0,0,0),(0,0,1)
(0,1,0),(0,1,1)
(0,2,0),(0,2,1)
(0,3,0),(0,3,1)
(1,0,0),(1,0,1)
(1,1,0),(1,1,1)
(1,2,0),(1,2,1)
(1,3,0),(1,3,1)

（だいたい下の方がＡの値は大きくなるから
真ん中当たりを選んで）

(x,y,z)=(0,3,0)のとき
A=3^3=27で(1)より27-2*(378/27)=27-2*14=27-28=-1≠1

どこが違うんだろう？

回答No.8

noname#52504

「あらゆる場合について確実に解ける機械的な方法」としては、
やはり解の公式を使うのが最短かと思いますが、
「場合によっては」ある程度アタリをつけて考えることはできます。

例えば、ご質問のケースなら、計算用紙で
---------------------------
　n(n-0.5)=189
　14×13.5＝７×27＝189
　0.5-14=-13.5
　(n+13.5)(n-14)=0
　(2n+27)(n-14)=0
---------------------------
とすればオシマイです。

・少なくとも一方の解は整数であること
・一次の係数がごく小さいこと
に着目して、

　2n^2-n-378=0　⇒　n(n-0.5)=189
と変形し、

　13^2＝169　＜　189　＜　15^2＝225
ですから、n≒14くらいだなとアタリをつけ、
（13^2，15^2といった主要な平方数は覚えているのが前提）

　14(14-0.5)＝14×13.5＝７×27＝189
となることを確認し、

解と係数の関係から、もう一方の解は
　0.5-14=-13.5
となるので、

　(n+13.5)(n-14)=0
　(2n+27)(n-14)=0

※
もちろん、上記の方法は一次の項の係数が大きい場合には使えませんし、
また、整数解をもたない場合は、「おおよその値」がわかっても無意味です。

※
上記のような作業は(必要に応じて)計算用紙で行う作業です。
解答用紙に残す必要はありませんし、残してはいけません。

※
どんなテクニックを使えるか考えている間も時計の針は進んでいます。
たとえ時間はかかっても確実に解ける方法で進める決断も大事です。

※
もっともらしく書きましたが、実際は、最初の式をざっと眺めて、
「ん～、y軸挟んでほぼ対称やね。
　解の絶対値は…14くらいやなぁ、たぶん。
　片方は整数やし、とりあえず378を14で割ってみよか。
　…ビンゴー！！」
という感じです。

以上ご参考まで。長乱文陳謝。

お礼

左右ほぼ対象というのは理解出来ます。
解の絶対値が１４くらいということはどこから来るのでしょう？

正直小数が出たりするとあれなんですが。
下のeinskazさんのものに似ているかな？

時間をかけて下さいまして
ありがとうございました。

回答No.6

Quattro99

書き忘れました。
因数分解できるのなら、解の公式のルートの中は平方数になるはずですから、少々数が大きくなってもそれほど大変ではないと思います。大きな素数の平方になっている場合は難しいですけど。

お礼

ああそうか！そういえばそうですね。
ありがとうございます。

回答No.5

noname#101087

>2n^2-n-378=0

模試なので手計算に限られ、それで「大変」なのですね。
n と表記してあるので、整数解を求めよ、という問題なのでしょう。

ならば、まず 378 を素数分解しておくのが良さそうです。
　　2n^2-n-378 = (2n-A)*(n-B)
として、
　　A-2*(378/A) = 1
を解くのでしょうが、素数分解してあれば楽ですね。

お礼

はい。まさに数列の問題です（笑）
nは自然数であるからn=14～と。

＞A-2*(378/A) = 1
悩みました。
「なんだろうこれ？」
って時間かかりましたけど、ようやく理解しました。
係数比較法ですね！
へぇ～～～。思いつきませんでした。

だけどやっぱりAの二次式をとくことになるんですよね？
両辺にAをかけると

　A^2-2*378=A
∴A^2-A-756=0
∴(A+27)(A-28)
よって
A=28,-27
しかし、
ここでどうやって28を切るんでしょう？

断念しました。
実際に代入したら分かるのかな？

回答No.4

Quattro99

378を素因数分解してたすきがけでもできると思いますが、私はたすきがけが苦手なので、おそらく二次方程式の解の公式を使って解くだろうと思います。
解の公式を使って解くのは、それほど大変ではないのでは？
ルートの中は3025ですが、これが25=5^2で割れるのはすぐにわかります。割ってみると商は121ですから11^2だとすぐにわかります。従って、√3025=55とわかります。

お礼

そうですねぇ。おっしゃるとおりです。
確かに今思えば解の公式は簡単ですね。
だけど模試だと
「あぁ、ルートの中がデカイ、無理だ」
になっちゃうんですよねぇ。
ありがとうございました。

回答No.3

inara1

a^2 - b^2 = ( a + b )*( a - b ) という形に持っていくという方法で
　　　2*n^2 - n - 378 = 2*( n - 1/4 )^2 - 378 - 2*(1/4)^2
　　　　　　　　　　　　　 = 2*( n - 1/4 )^2 - ( 16*378 + 2 )/16
　　　　　　　　　　　　　 = 2*( n - 1/4 )^2 - 6050/16
　　　　　　　　　　　　　 = 2*{ ( n - 1/4 )^2 - 3025/16 }
　　　　　　　　　　　　　 = 2*{ ( n - 1/4 )^2 - (55/4)^2 }　←　2*( a^2 - b^2 ) の形
　　　　　　　　　　　　　 = 2*{ ( n - 1/4 ) + ( 55/4 ) }*{ ( n - 1/4 ) - ( 55/4 ) }
　　　　　　　　　　　　　 = 2*( n + 54/4 )*( n - 56/4 )
　　　　　　　　　　　　　 = 2*( n + 27/2 )*( n - 14 )
　　　　　　　　　　　　　 = ( 2*n + 27 )*( n - 14 )
と変形していくというのはどうでしょうか。

3025 = 55^2 とするところが唐突ですが、これは
　　　3025 = 5*605 = 5^2*121 = 5^2*11^2 = ( 5*11 )^2 = 55^2
という感じで因数分解しています（ 121 = 11^2 というのを思いつかないとできませんが）。

お礼

へぇ～。こうやっても解けるんですねぇ。
実際試験では時間かかりすぎて使えないですけど。

参考にさせてもらいます。
ありがとうございました。