方程式

質問

2次方程式ax＾2＋bx＋c=0の２解の間に実数kがあるためにはa,b,c,kの間にどのような関係がなければならないかという問題で。

f(x)=ax＾2＋bx＋cとおいて、
ax＾2＋bx＋c=0の2解の間に実数kがあるには、
a>0のとき、f(k)<0…(1)
a<0のとき、f(k)>0…(2)

で、(1)と(2)よりどのような関係があるかがわかりません。
（どのようにあらわすのか）

回答No.7

mirage70 · ベストアンサー

>(1)と(2)よりどのような関係があるかがわかりません。
（どのようにあらわすのか）
(1),(2)を１つの式として表すためであり、また、１つの式で表せますので、aをかけるのです。
他の方法としては、aで割っても良いですが、式として見栄えが悪いので、かける方を用います。
a・f(x)<0　はどういうことを意味しているかです。
２個を掛けて、負になるのは、正×負<0 の組み合わせになります。
よって、a>0のとき、f(k)<0
a<0のとき、f(k)>0
使用するものは、a, f(x)のみを使用して、(1),(2)の関係を表すのです。

>(1)と(2)よりどのような関係があるかがわかりません。
（どのようにあらわすのか）
a・f(x)<0として表します。

>どうして、aをかけるのですか？
使用出来るものは、a, f(k)で、(1),(2)の関係を１つの式として求めるためです。

お礼

くわしくありがとうございます。
わかりました。
たくさん質問してごめんね

回答No.6

mirage70

No1の方の回答で合っております。
補足をすれば、
a>0のときは、y=ax＾2＋bx＋cのグラフは、上に開いており、２根でy=0となり、此の２根の間のものは、y<0となります。(ここで、a>0のときに、任意の実数zに対して、f(z)<0が成り立つならば、f(x)=0は２実根を持つことが言えますし、zは２根の間の数になります)
a<0のとき、y=ax＾2＋bx＋cのグラフは、下に開いており、２根でy=0となり、此の２根の間のものは、y>0となります。(同様に、a<0のときに、任意の実数zに対して、f(z)>0が成り立つならば、f(x)=0は２実根を持つことが言えますし、zは２根の間の数になります)
よって、判別式は必要ないです。
ax＾2＋bx＋c=0の2解の間に実数kがあるには、
a>0のとき、f(k)<0…(1)
a<0のとき、f(k)>0…(2)　が言えます。
ここで、わかりにくいのは、(1)に正(a>0)をかけると不等号の向きは変わらない。即ち、a・f(k)<0…A
(2)に負(a<0)の数をかけると、不等号の向きは変わると云うことです。即ち、a・f(k)<0…B
よって、(1),(2)にaを掛けたものは、a・f(k)<0の１つの式として表せます。
f(k)=ak^2+bk+cとなります。此に、aをかければよいのです。即ち、a・f(k)=a(a(k＾2)+bk+c)<0
No1の解答で大正解です。

補足

どうして、aをかけるのですか？

回答No.5

fushigichan

＃３＃４です。

＞a(a(k＾2)+bk+c)<0

なるほど。じゃあ、細かく考えなくてもいいんですね。
これは、
a>0のとき、ak^2+bk+c<0
a<0のとき、ak^2+bk+c>0
という２つの条件を合わせています。

解の公式を使って、ｋの範囲を求めましたが
そこまでしなくても、よかったというわけですね。

boku115さんの求めた
＞a>0のとき、f(k)<0…(1)
＞a<0のとき、f(k)>0…(2)

で、もうほとんど出来ていたということになります。
f(k)=ak^2+bk+c
ですから。

頑張ってください。ご参考になればうれしいです。

補足

f(k)=ak^2+bk+c でどうもとめるのですか？

回答No.4

fushigichan

＃３です。ちょっと書き忘れました。
まず、
＞2次方程式ax＾2＋bx＋c=0の２解の間に実数kがあるためには

なので、ax^2+bx+c=0
は異なる２つの実数解を持つことが先決ですね。
それは、判別式D>0が条件なので

D=b^2-4ac>0

この条件と、a≠0
という条件のもとで、
(-b-√(b^2-4ac))/2a<k<(-b+√(b^2-4ac))/2a

という関係が成り立っていることになりますね。
付け足しておきますね。

補足

すいません。
答えは
a(a(k＾2)+bk+c)<0
と書いてあるのですが、わかりません。

ありがとうございます。

回答No.3

fushigichan

boku115さん、こんにちは。
＞f(x)=ax＾2＋bx＋cとおいて、
ax＾2＋bx＋c=0の2解の間に実数kがあるには、
a>0のとき、f(k)<0…(1)
a<0のとき、f(k)>0…(2)

この方針でいいと思います。
(1)a>0のとき
　f(k)=ak^2+bk+c<0
　ak^2+bk+c=0の２つの解をα、βとすると、
　a(k-α)(k-β)<0
　α<k<β　となるが２次方程式の解の公式より
　α=(-b-√(b^2-4ac))/2a
　β=(-b-√(b^2-4ac))/2a
　となるので、a>0のときは
　(-b-√(b^2-4ac))/2a<k<(-b+√(b^2-4ac))/2a
　のようになりますね。

(2)a<0のとき
　f(k)=ak^2+bk+c>0
　(1)と同様に
　a(k-α)(k-β)>0
　a>0より
　(k-α)(k-β)<0
　α<k<β
　ただし、
　α=(-b-√(b^2-4ac))/2a
　β=(-b-√(b^2-4ac))/2a
　となるので、a<0のときも
　(-b-√(b^2-4ac))/2a<k<(-b+√(b^2-4ac))/2a

となります。よってaの正負にかかわらず、
(-b-√(b^2-4ac))/2a<k<(-b+√(b^2-4ac))/2a

となると思います。
ご参考になればうれしいです。

補足

すごく詳しくありがとうございます。
うれしいです、
すいません。
答えは
a(a(k＾2)+bk+c)<0
と書いてあるのですが、わかりません。

ありがとうございます。

回答No.2

arukamun

こんにちは

解の公式
ｘ＝（－ｂ±√（ｂ＾２－４ａｃ））／２ａ
を使えば良いと思います。

（－ｂ－√（ｂ＾２－４ａｃ））／２ａ＜ｋ＜（－ｂ＋√（ｂ＾２－４ａｃ））／２ａ

ａ＞０の時、
－ｂ－√（ｂ＾２－４ａｃ）＜２ａｋ＜－ｂ＋√（ｂ＾２－４ａｃ）
－√（ｂ＾２－４ａｃ）＜２ａｋ＋ｂ＜＋√（ｂ＾２－４ａｃ）

ａ＜０の時、
－ｂ－√（ｂ＾２－４ａｃ）＞２ａｋ＞－ｂ＋√（ｂ＾２－４ａｃ）
－√（ｂ＾２－４ａｃ）＞２ａｋ＋ｂ＞＋√（ｂ＾２－４ａｃ）

といった感じになるのではと思うのですが、・・・。

補足

すいません。
答えは
a(a(k＾2)+bk+c)<0
と書いてあるのですが、わかりません。

ありがとうございます。

回答No.1

kbannai

グラフを描いてみるとよいのではないですか？
答えは、a・f(k)<0 が必要十分条件かと思います。