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二次方程式

3つのxの2次方程式  ax^2+2bx+c=0 bx^2+2cx+a=0 cx^2+2ax+b=0 について、すくなくとも1つは実数解をもつことを証明せよ。(ただし、a, b, cは0以外の実数) という問題なのですが、判別式を使って考えているのですが、よく分かりません。どなたかアドバイスをお願いします。

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noname#57316

ax^2+2bx+c=0 bx^2+2cx+a=0が実数解を持たないとすると b^2<ac c^2<ab b^2、c^2、ac、abは全て正の数であるから b^2・c^2<ac・ab=a^2・bc (1) ・)a>0のとき、b>0、c>0であるから、bc>0 (1)の両辺をbcで割ると bc<a^2 ・)a<0のとき、b<0、c<0であるから、bc>0 (1)の両辺をbcで割ると bc<a^2 ∴cx^2+2ax+b=0は実数解を持つ。 QED

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質問者からのお礼

よくわかりました。ありがとうございました。

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  • 回答No.1
noname#47894

全ての方程式が、実数解を持たないとすると、 b^2-ac<0 c^2-ba<0 a^2-bc<0 となります。この3式を辺々加えて、矛盾を導いてください。 背理法による証明となります。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 辺々加えるというのは a^2+b^2+c^2-ac-ba-bc<0が矛盾するということでしょうか? 今、実際にa,b,cに2,3,4を入れてみたら、確かに左辺の方は0以上になったのですが、どう説明してよいのかよく分かりません。

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