• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

高次方程式

「実数を係数とする整式F(x)=ax^3+bx^2+cx (ただしaは0ではない)がある。方程式X^4=Xのすべての解が、方程式{F(x)}^2=F(x)を満たすとき、a b c の値の組をすべて求めよ。」について教えてください。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • suko22
  • ベストアンサー率69% (325/469)

まずはX^4=Xの解を調べる。 X^4-X=0 X(X^3-1)=0 X(X-1)(X^2+X+1)=0 X=0,1,(-1±√3i)/2・・・※ 方程式{F(x)}^2=F(x)を整理する。 F(x){F(x)-1}=0 F(x)=ax^3+bx^2+cxを上式に代入。 (ax^3+bx^2+cx)(ax^3+bx^2+cx-1)=0・・・※1 この方程式の解が※の4つすべて持つ条件を探す。 x=0のとき※1の左辺に代入すると、 (左辺)=0*(-1)=0=(右辺)となり、a,b,cの値に関わらず解であることがわかる。 残り、x=1とx=(-1±√3i)/2を解に持つための条件を探す。 x=(-1±√3i)/2はx^2+x+1=0の解であるから、 x^2+2x+1が、※1の(ax^3+bx^2+cx)または(ax^3+bx^2+cx-1)のどちらかの因数であればよい。 場合分け。 (i)ax^3+bx^2+cがx^2+x+1を因数に持つ条件。→ax^3+bx^2+cがx^2+x+1で割り切れる条件。    (筆算で割り算してください)    結果、ax^3+bx^2+cx=(x^2+x+1){ax+(b-a)}+(c-b)x+a-bとなる。    よって、上記条件を満たすには余りがゼロにならないといけないから、    c-b=0,a-b=0    よって、a=b=c・・・※2 このときax^3+bx^2+cx=0はx^2+2x+1=0の解を持つ。    一方、残りの解x=1も※1の解であるためには、ax^3+bx^2+cx-1=0の解がx=1であればいい。    よって、a+b+c-1=0・・・※3    ※2、※3を両方満たすにはa=b=c=1/3・・・答え (ii)(i)と逆パターン。    ax^3+bx^2+cx-1がx^2+2x+1を因数に持つ条件。    (筆算・・・)    結果、ax^3+bx^2+cx-1=(x^2+2x+1){ax+(b-a)}+(c-b)x-1+a-b よって、c-b=0,-1+a-b=0 整理すると、b=c=a-1・・・※4    このときax^3+bx^2+cx-1=0はx^2+2x+1=0の解を持つ。    一方、残りの解x=1も※1の解であるためには、ax^3+bx^2+cx=0の解がx=1であればいい。    よって、a+b+c=0・・・※5        ※4、※5を両方満たすには連立方程式を解いて、a=2/3,b=-1/3,c=-1/3・・・答え

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

その他の回答 (4)

  • 回答No.5
  • suko22
  • ベストアンサー率69% (325/469)

mister_moonlightさん、ご指摘ありがとうございます。 ところで、やり方は人それぞれいろいろあっていいのではないですか。 多様な回答があったほうが質問者さんにとってもこのカテにとっても有益だと思います。 ここは無料のサイトでありながら、回答者さんの質が高く、私自身も他の回答者さんから学ぶべきところはたくさんあると感じているので、ここで回答活動しています。 私のやり方に難があるようでしたら、具体的に指摘していただくとうれしいです。 P.S.質問者さんへ 質問と関係のない書き込みをしてしまいすみません。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.4
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

# X^3-1 を因数分解する必要など無い。 X^4=X ⇔ (X=0 または X^3=1). F(0)=0 なので、X=0 は F(0)^2=F(0) を満たす。 X^3=1 の三つの解については、 F(X)^2=F(X) の両辺に含まれる X^3 に X^3=1 を 代入して次数を下げると、 (2ab-b+c^2)X^2 + (2ac-c+b^2)X + (a^2-a+2bc) = 0 と整理できる。 X^3=1 は重根を持たず、三個の複素数解がある。 その全てが上記の二次方程式(もどき)を満たす条件は、 それが実は二次方程式ではなく恒等式であること。 すなわち、2ab-b+c^2 = 2ac-c+b^2 = a^2-a+2bc = 0. これを解いて、a,b,c を求める。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.3
noname#160365
noname#160365

要するに0と1の三乗根という4つの数が がF(x)^2-F(x)=0を 満たすようなa,b,cを求めるんだよね。 最初の方も言っているように 0が満たすのは明らかなので あとは1の三乗根 x=1, ω1, ω2 だけ考えればいい。 これら3つのxについては x^3=1 なので F(x)=a+bx^2+cx よって3つのxが 二次方程式 (i) bx^2+cx+a=0 または (ii) bx^2+cx+a=1 を満たすような a,b,cを求めればいい。 ありうる場合は (1) x=1は(i)を、x=ω1,ω2は(ii)を満たす。 (2) x=1は(ii)を、x=ω1,ω2は(i)を満たす。 それぞれの場合を調べるのは 二次方程式の解の公式を使うと簡単。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

>(筆算で割り算してください) そんな中学生みたいな事するなよ。答案が 汚くなる。 x^2+x+1=0 → x^3-1=(x-1)*(x^2+x+1)=0。これを使えば簡単に行く。 この問題のbaseになってるのは、複素数。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 高次方程式と虚数解

    3次方程式x^3+ax^2+bx+2=0が1-iを解にもつとき、 実数の係数a、bの値を求めよ。また、他に解を求めよ。 この問題はどうやってとけばいいですか?

  • 高次方程式

    「係数が実数の4次方程式 x4乗+ax3乗+bx2乗+d=0…(1)が1+√(3)iを解に持つとする。 4つの異なる解を持ち、その絶対値がすべて等しく、かつ4つの解の和が1であるときの式(1)を求めよ」 という問題で、f(x)=(x2乗+2x+4)(x2乗+(a+2)x+(2a+b))まではわかるんですが、解答ではこのあと「条件より|1±√(3)i|=2」と書いてあるのですがなぜでしょうか?

  • 高次方程式

    xの3次式P(x)=x^3-3ax^2+(2a^2+a)x+bがあり、P(2a)=0を満たしている。 ただし、a、bは実数の定数とする。 (1) bをaを用いて表せ。 (2) 方程式P(x)=0のすべての解が実数であるとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。 (3) 方程式P(x)=0が重解をもつとき、aの値を求めよ。また、そのときのP(x)=0の解をすべて求めよ。 解法が(1)からわからないです(・_・;) 回答、よろしくお願いします_(._.)_

  • 高次方程式

    xの3次式P(x)=x^3-3ax^2+(2a^2+a)x+bがあり、P(2a)=0を満たしている。 ただし、a、bは実数の定数とする。 (1) bをaを用いて表せ。 (2) 方程式P(x)=0のすべての解が実数であるとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。 (3) 方程式P(x)=0が重解をもつとき、aの値を求めよ。また、そのときのP(x)=0の解をすべて求めよ。 解法が(1)からわからなくて困ってます。 回答、よろしくお願いします。

  • 【高次方程式の解法】

    実数を係数とする3次方程式x^3-√3x^2+3x+a=0の 異なる3つの解の実部がすべて等しい時、aの値は? 3次方程式の解と係数の関係が使えそうなんですが… 数学の得意な方、お願いします!

  • 複素数と方程式

    複素数1+iを解の一つとする実数係数の三次方程式xの三乗+axの二乗+bx+c=0(すいません。式をどの様に打てばよいのか分からず、大変見づらくなってしまいました。axの二乗は、xだけが二乗されています)について、 ①この方程式の実数解をaで表せ。 ②この方程式と二次方程式xの二乗-bx+3=0がただ一つの解を共有するとき、定数a、b、cの値を求めよ。 という問題です。 ①から解けません。xに1+iと、共役な複素数1-iを代入したりしてみたのですが、解けません。 教えてください。

  • 二次方程式の問題

    この問題を解く手順を教えてください。 質問者は高2です。 実数a,bを係数とする二次方程式x^2+ax+b=0の解をα,βとする。 1/αと1/βを解に持つ二次方程式がx^2+bx+a=0のとき、a,bの値を求めよ。

  • 高次方程式 解答お願いします!

    3次方程式 f(x)=x^3+ax^2+bx+c=0 の3つの解をα, β, γとする。 (1) α+β+γ, βγ+γα+αβ, αβγ の値をa, b, cで表しなさい。ただし、「F(x)=0の解がAである ⇔ F(x)=(x-A)(・・・)」を利用して答えを導き出しなさい。 (2) tについての次の式を簡単にしなさい。 f(α+t)+f(α-t)+f(β+t)+f(β-t)+f(γ+t)+f(γ-t) (3) yについての方程式 f(α+y)+f(β+y)+f(γ+y)=f(α-y)+f(β-y)+f(γ-y) が0以外の実数解をもつための条件を求めなさい。ただしa, b, cは実数とする。

  • 緊)2次方程式、高次方程式

    緊)2次方程式、高次方程式 1番、 2次方程式x^2-ax+2a+5=0が虚数解をもつような実数aの値の範囲を求めなさい。 2番、 2次方程式2x^2+kx-k-1=0が実数解をもつような実数kの値の範囲を求めなさい。 上の問題がわかりません;; 回答お願いします!!!

  • 数学II(高次方程式)の解説をお願いします..。

    ーーーーーーーーーーーーーーー a,b,c,dは実数の定数とする。 Xについての2つの方程式 X^2+ax+b=0・・・(1) X^3+bx^2+cx+d=0・・・(2) がある。 (1)の左辺をXー1で割った時の 余りは4である。 ーーーーーーーーーーーーーーー (1)bをaを用いて表せ。 ーーーーーーーーーーーーーーー (2)(1)は実数解を持つとする。 aのとり得る値の範囲を求めよ。 ーーーーーーーーーーーーーーー (3)(2)の左辺をX^2+X+1で 割ったときの余りがX+aである とする。 (i)cをaを用いて表せ。 また、dの値を求めよ。 (ii)(1)と(2)が共通の実数解を もつようなaの値を求めよ。 ーーーーーーーーーーーーーーー