整数問題

質問

整数問題の解き方を教えてください。
a，b，c を実数の定数としてf( x )= x^3 + ax^2 + bx + cとおくとき、(1)、(2)を示しなさいという問題です。

⑴　f( - 1 )、f( 0 )、f( 1 ) がすべて整数ならば任意の整数 n に対して f( n ) は整数
⑵　連続する 3 つの整数に対して、 f( x ) がすべて整数ならば、任意の整数 n に対して
f( n ) は整数

回答No.2

ATZ1229tkt

x^3の係数が1なので簡単な計算でできます。

(1) f(0)=cが整数なのでcは整数
f(1)=1+a+b+c,f(-1)=-1+a-b+cが整数で1+cや-1+cが整数なので
a+b,a-bが整数a+b=A,a-b=B (A,Bは整数)とおくと
a=(A+B)/2 , b=(A-B)/2 従って
f(x)=x^3+(A+B)/2･x^2+(A-B)/2･x+cとなる。
f(n)=n^3+A/2･(n^2+n)+B/2･(n^2-n)+c
=n^3+A･n(n+1)/2+B･n(n-1)/2+c (A,B,cは整数)
nが整数であればn^3,n(n+1)/2,n(n-1)/2はすべて整数であり
A,B,cは整数であるからf(n)は整数である。

(2)はすでについている回答のとおり

f(x)=ax^3+bx^2+cx+dであればもう少し上手なやり方が必要

回答No.1

tmppassenger

(1)
幾つか類似の方法があるが、書くのが楽な方法を書くと：
g(x) = f(x) - x^3 とおくと、g(-1), g(0), g(1)いずれも整数。
そこでLagrange補間多項式

f(x) = x^3 +g(x) = x^3 + g(1) * { x(x+1) / 2} + g(0) * {(x-1)(x+1)/(-1)} + g(-1) * {x(x-1) / 2}

の形を用いると隣り合う整数の一方は偶数であるから、整数xに対してx(x+1) / 2, x(x-1) / 2は整数であり、したがってすべての整数xに対してf(x)は明らかに整数となる。

(2)
整数 mに対し、f(m-1), f(m), f(m+1)がすべて整数として、h(x) = f(x+m)を考えよ。