整数の問題です。

質問

n:正の整数、a:実数ですべての整数mに対して
m^2-(a-1)m+n^2/2n+1>1
が成り立つようなaの範囲をnを用いて表せ。

という問題です。

左辺＝f(m)とおいてつねにf(a)>0かつf(a/2-1)>0となればよいのでしょうか？

回答No.3

mister_moonlight

n^2/2n＋1＝bとする。但し、b＞1.
従って、m^2-(a-1)m+n^2/2n+1>0より変形して、am＜m＾2＋m＋bが全ての整数mに対して成立するためのaの条件を求めると良い。

放物線：y＝m＾2＋m＋b＝(m＋1/2)＾2＋(b-1/4)が、全ての整数mに対して直線y＝amより上にあればよい事に言い換えられる。
(1)a＝0のときはb＞1より常に成立する。
(2)a＞0のとき　　mが整数から、m＝1の時にも成立するので　a＜2＋b＝3＋n^2/2n
(3)a＜0のとき　　mが整数から、m＝-1の時にも成立するので　-a＜b。よって、a＞-(n^2/2n＋1)

以上より、-(n^2/2n＋1)＜a＜3＋n^2/2n。

補足

回答ありがとうございます。お返事遅くなってすみません。
始めに書いとけば良かったのですが、答えは「0<a<2n+1」なんです。もう少し検討してみます。

回答No.2

noname#21330

m^2-(a-1)m+n^2/2n+1=
(m-(a-1)/2)^2+n^2/2n+1-(a-1)^2/4

f(m)は下に凸
最小値　n^2/2n+1-(a-1)^2/4>0
から求めるのでは？

補足

回答ありがとうございます。お返事遅くなってすみません。m:整数という条件があるので最小値>0だけでは解けませんでした。

回答No.1

Quattro99

m^2-(a-1)m+n^2/2n+1>0 ですか？

補足

ごめんなさい。その通りです！！