• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

関数について。

実数の定数a,b,c,d,eを係数にもつ2つの関数 f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e g(x)=4ax^2+3bx-2(a-c) を考える。-2≦x≦2を満たす全ての実数xで f(x)≧g(x) であるならば、 max{|a|,|b|,|c|,|d|}≦|e| が成り立つことの証明を教えて下さい。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数1
  • 閲覧数40
  • ありがとう数0

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

実数の定数a,b,c,d,eを係数にもつ2つの関数 f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e g(x)=4ax^2+3bx-2(a-c) を考える。 -2≦x≦2を満たす全ての実数xで f(x)≧g(x) であるとする h(x)=f(x)-g(x)とすると h(x)=f(x)-g(x) =ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-4ax^2-3bx+2a-2c =ax^4+bx^3+(c-4a)x^2+(d-3b)x+e+2a-2c =a(x^4-4x^2+2)+b(x^3-3x)+c(x^2-2)+dx+e =a{(x^2-2)^2-2}+bx(x^2-3)+c(x^2-2)+dx+e ≧0 h(0)=2a-2c+e≧0 h(1)=-a-2b-c+d+e≧0 h(-1)=-a+2b-c-d+e≧0 h(2)=2a+2b+2c+2d+e≧0 h(-2)=2a-2b+2c-2d+e≧0 h(√2)=-2a-b√2+d√2+e≧0 h(-√2)=-2a+b√2-d√2+e≧0 h{√(2+√2)}=b(√2-1)√(2+√2)+c√2+d√(2+√2)+e≧0 h{-√(2+√2)}=-b(√2-1)√(2+√2)+c√2-d√(2+√2)+e≧0 h{√(2-√2)}=b(-√2-1)√(2-√2)-c√2+d√(2-√2)+e≧0 h{-√(2-√2)}=-b(-√2-1)√(2-√2)-c√2-d√(2-√2)+e≧0 h(√3)=-a+c+d√3+e≧0 h(-√3)=-a+c-d√3+e≧0 {h(2)+h(-2)}/2=2a+2c+e≧0 h(0)/2+{h(2)+h(-2)}/4=2a+e≧0 e≧-2a {h(√2)+h(-√2)}/2=-2a+e≧0 e≧2a ↓これとe≧-2aから e≧2|a|≧|a| {2h(1)+h(-2)}/3=-2b+e≧0 e≧2b {2h(-1)+h(2)}/3=2b+e≧0 e≧-2b ↓これとe≧2bから e≧2|b|≧|b| {h{√(2+√2)}+h{-√(2+√2)}/2=c√2+e≧0 e≧-c√2 {h{√(2-√2)}+h{-√(2-√2)}/2=-c√2+e≧0 e≧c√2 ↓これとe≧-c√2から e≧|c|√2≧|c| {h(0)+2h(√3)}/3=2d/√3+e≧0 e≧-2d/√3 {h(0)+2h(-√3)}/3=-2d/√3+e≧0 e≧2d/√3 ↓これとe≧-2d/√3から e≧2|d|/√3≧|d| ∴ max(|a|,|b|,|c|,|d|)≦|e|

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 微分できない関数のべき級数展開

    関数f(x)は奇関数であり、xが正の整数ならばf(x)=1とします。 この関数がべき級数展開可能かどうかの質問です。 f(x)=ax とおくと f(1)=1 から a=1 よって f(x)=x f(x)=ax+bx^3 とおくと f(1)=1, f(2)=1 から a=7/6, b=-1/6 よって f(x)=(7/6)x-(1/6)x^3 f(x)=ax+bx^3+cx^5 とおくと f(1)=1, f(2)=1, f(3)=1 から a=37/30, b=-1/4, c= 1/60 よって f(x)=(37/30)x-(1/4)x^3+(1/60)x^5 この3つの結果からすると、このまま進めて行っても各係数は発散するとは限らないように思えます。 実際に各係数の極限値を求めるのは私の手に余るのですが、べき級数展開は可能ですか?

  • 3次関数が極値をもつ必要十分条件

    3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ なんですよね? これは、f'(x)=0が実数解α、β(α≠β)をもつとき、f(α)、f(β)は極値となる、ということにはならないんでしょうか? 例えば、 3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとるとき、定数a,b,c,dの値を求めよ。 という問題で、 x=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとる⇒f'(0)=0、f'(2)=0 つまりf'(x)=0が異なる2つの実数解をもつのだから、しかもf(0)=2、f(2)=-6という条件も代入しているのだから、a,b,c,dを求めた後に確認をする必要があるというのが理解できません…

  • 共役複素数

    a、b、c、dは実数の定数である 方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである このときa、b、c、dの値を求めよ 2つの解α、βを、 α=p+qi、β=r+si とおくと、その共役複素数 ¬α=p-qi、¬β=r-si も解で、 x^4+ax^2+bx^2+cx+d=(x-α)(x-β)(x-¬α)(x-¬β)と表せられる ここでα+β=19+2iとすると、 (x-α)(x-β)=x^2-(19-2i)x+(4+5i) (x-¬α)(x-¬β)=x^2-(19+2i)x+(4-5i) であり、x^4+ax^2+bx^2+cx+d=(x-α)(x-β)(x-¬α)(x-¬β)と表せることから、この右辺の積がx^4+ax^2+bx^2+cx+dと同じになる というところまで様々な方のおかげでたどり着いたのですが、右辺をかけると、-38x^3が出たりx^2の係数に虚数があったりとx^4+ax^2+bx^2+cx+dに合わなくなってしまったんです どうすればいいでしょうか?教えてください

  • ロルの定理を使わずに、高校生が解くにはどうすれば良いか?

    ロルの定理を使わずに、高校生が解くにはどうすれば良いか? xについての実数係数の3次方程式:f(x)=x^3+ax^2+bx+c=0は 1/4+a/3+b/2+c=0のとき、0<x<1に必ず実数解を持つ事を証明せよ。 条件:1/4+a/3+b/2+c=0を見ると、3次方程式の不定積分の係数になっている。 f(x)=x^4/4+ax^/3+bx^2/2+cx とすると、f(1)=0であるから、問題は「f´(x)が実数係数の4次式で f(1)=f(0)=0のとき、f´(x)=0は 0と1の間に実数解を持つ事を証明せよ」という事になる。 一見してわかるように、ロルの定理の特別な場合であるが、高校生に(ロルの定理なんかは知らないから)どのように説明したらいいのだろうか? ロルの定理を使わない証明の私案 f(x)が定数でないなら、f(x)=0でないxがある。そのようなxの一つの値をαとすると、f(α)>0ならば、0≦x≦1でのf(x)の最大値≧f(α)>0. f(1)=f(0)=0からf(x)が最大となるxの値は0と1の間にある。 f(α)<0の場合も同様に証明できる (以下、省略)。。。。。としても、高校生には到底無理。 レベルとしても高校数学を超えているのは承知の上ですが、何か方法がないだろうか?

  • 4次関数 対称軸l

    4次関数f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e(a≠0)のグラフがy軸に平行な対称軸lを持つための条件及びlの方程式を求めよ

  • 4次関数 対称軸

    4次関数f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e(a≠0)のグラフがy軸に平行な対称軸lを持つための条件及びlの方程式を求めよ 解き方を教えてください

  • f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

    f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f(α)=f(-α) f'(α)=f'(-α) これらより bα^3+dα=0 3bα^2+d=0 最後の式がどこから出たのかわかりません。ご教授ください。

  • 多次式

    f(x)は5次の整式でx^5の係数は1である f(x)がf(x^4)-7=(f(x)-7)^4をみたすならばf(x)はx^5+□x^4+□x^3+□x^2+□x+□である 別の質問で、f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+eと置いたときa=c=0,e=7、つまりf(x)=x^5+bx^3+dx+7まで分かったのですがここから分かりません 教えてください なお、補足質問をするかもしれません

  • <微分> 3次関数の微分の問題

    3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=1で極小値-1/12をとり、x=2で極大値1/12をとる。 定数a,b,c,dを求めよ という問題です。 f'(x)=3ax^2+2bx+c として、 f'(1)=0 f'(2)=0 f(1)=-1/12 f(2)=1/12    この4つの式からabcdを使った式を出したのですが、 どのように変形すれば答えが出るのでしょうか? 教えていただければ幸いです。

  • f’(x)って何?

    先日数学IIの教科書をパラパラと見ていたのですが、 今まで習っていたf(x)ではなく、 f'(x) と、書いてあるページがありました。 前後を見てみたのですが、よくわからなかったので、 f(x)との違いを教えてほしいのです。 f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d って書いてました。 f(x)の式が、下のf'(x)の式に変わったのでしょうか? わかっている方にはとてもバカな質問だろうと思いますが、 何だかとても気になるので、教えてください。

専門家に質問してみよう