整数になる式

質問

f(x)＝ax^4＋(2a＋b)x^3＋(3b－a)x^2＋2(b－a)xが「すべての整数nに対して、f(n)が整数」を満たすためには「24aと6bが整数である」ことが必要十分であることを示せ
という問題で、手が全く出せないのでヒントだけでもお願いします！
ちなみに補足質問するかもしれません

回答No.2

FT56F001 · ベストアンサー

[略解]
f(1)が整数である→6bは整数
f(2)が整数である→24a+24bは整数→24aは整数
として必要条件であることが分かります。

一方，
f(n)=a(n^4+2n^3-n^2-2n)+b(n^3+3n^2+2n)=a*n*(n-1)*(n+1)*(n+2)+b*n*(n+1)*(n+2)
と書けますから，aの係数は24の倍数，bの係数は6の倍数になります。
よって6bと24aが整数ならf(n)は整数になるので，十分条件でもあります。

お礼

f(n)=a(n^4+2n^3-n^2-2n)+b(n^3+3n^2+2n)=a*n*(n-1)*(n+1)*(n+2)+b*n*(n+1)*(n+2)
と書けますから，aの係数は24の倍数，bの係数は6の倍数になります。

なぜなのか分からないのでよければ教えてください！

回答No.1

WiredLogic

この手の問題では、いきなり、十分条件を考えると難しいので、
まずは、必要条件から求めて、それが十分条件にもなっている
ことを示すのが、定石です。

具体的には、f(0) = 0 は、当たり前に整数になるので、
f(±1)など計算しやすいものから考えて、それらが、整数に
なる条件を求める(これで足りなければ、f(±2)などを追加)

これで、必要条件が出てきたら、それが十分条件になっている
かをチェック、という形でいけるはずです。

お礼

回答ありがとうございます！わかりました！