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3次方程式は3つの整数解をもちf(n)+p=0
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- gadataharaua
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A No.1 に書かれてあるように、 f(n) = (n-α)(n-β)(n-γ) = -p と変形すればよいのだろうと思う。 n-α, n-β, n-γ はどれも整数だから、 掛けて -p になるためには、 絶対値が 1, 1, p と決まる。p は素数だからね。 ±1, ±1, ±p の中から各数の正負を決めるのだが、 n-α, n-β, n-γ が異なる三数であることと、 三つ掛けた積が負であることから、 n-α, n-β, n-γ は 1, -1, p であると解る。 あとは、解と係数の関係を使って、 a, b, c を α, β, γ で表せば、 一つめの問題が解ける。 三つの解のどれがαでβでγかは、 解と係数の関係の対称性から、気にする必要がない。
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- alice_44
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その通り。 n-α, n-β, n-γ = -1, -1, -p という不適解が出てこないように α, β, γ が異なるという条件を使えれば、後は一本道だと思う。
お礼
ありがとうございます。
前の回答で変な箇所あり。 「f(n)/p=mとすると」 は無視してください。
お礼
ありがとうございます。 分かりました。
それらの条件は、f(n)がpで割りきれる、という形で活用するんじゃないでしょーか。 3つの解をα、β、γとすると f(n)=(n-α)(n-β)(n-γ)=-p。 f(n)/p=mとすると一般性を失わずに n-α=mp、 m(n-β)(n-γ)=-1。 異なる解という条件から一般性を失わずに m=1、n-β=1、n-γ=-1。 で、α、β、γをn、pで表す、という感じかな...。 解と係数の関係は使ってもOK?
お礼
ありがとうございます。 素数の活用が分かりました。
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