Ｐ(０), Ｐ(１),Ｐ(２),・・・, Ｐ(ｎ)が整数ならば、全ての整数ｋに対してＰ(ｋ)は整数

質問

『ｎを自然数, Ｐ(ｘ)をｎ次の多項式とする。Ｐ(０), Ｐ(１),Ｐ(２),・・・, Ｐ(ｎ)が整数ならば、全ての整数ｋに対してＰ(ｋ)は整数であることを証明せよ。』

数学的帰納法で解けるらしいのですが、分かりません。どなたか教えてください。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

別に帰納法でなくても証明可能だ。
いったん証明を書いてしまったが、削除。途中まで記載。

多項式全体の成す環を R[x] としよう(面倒なので R は実数体)
R[x] の R 上のベクトル空間としての基底を下記のように取る

P_0 = 1, P_1 = x, P_2 = x(x-1), P_3 = x(x-1)(x-2), ...

以下略

回答No.5

noname#46750

東工大のＡＯ入試問題ですね。
参考サイトを見てください。

参考URL：

http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/51096330.html

回答No.4

koko_u_

>P_k を k! で割っておいた方が安全かも＞#1.
thanx.

回答No.3

Tacosan

帰納法で示すなら, 差分をとるのが簡単かなぁ?
P(x) を x の n次多項式とすると, 整数 k に対し P(k+1) - P(k) は k の (n-1)次多項式.

回答No.2

Tacosan

P_k を k! で割っておいた方が安全かも＞#1.