数学的帰納法 n^2≧n (nは整数)の証明

質問

数学的帰納法 n^2≧n (nは整数)の証明

n=1 のとき
1≧1
より成り立つ

n=k のとき
k^2≧k ... -k^2≦-k ... 1
が成り立つと仮定すると
n=k+1 のとき
(k+1)^2≧k+1
k^2+2k+1≧k+1
k^2≧-k
1より
k^2≧-k^2

k^2 は正数だからこれは左辺は正数、右辺は負数になる。したがってこれは成り立つ

私なりにやってみたのですがこれでどんな自然数nについても証明はできているでしょうか。

また、負数に関しての証明の方法をご教授願います。

回答No.3

OKXavier · ベストアンサー

>　n=k+1 のとき
>　(k+1)^2≧k+1
>　k^2+2k+1≧k+1
>　k^2≧-k
>　1より
>　k^2≧-k^2
この部分はダメです。
証明の基本ができていません。

上の２行目から４行目までを記述することは、すべきではない。
ここが証明の急所なので。

次のように記述していきます。
n=k のとき、命題が成り立つと仮定する。
すなわち、k^2≧k　と仮定すると、

n=k+1　のとき、
(k+1)^2-(k+1)
=(k+1)k
=k^2+k
≧k+k
=2k
>0
よって、(k+1)^2≧(k+1)
ゆえに、n=k+1　のときも成り立つ。

「nが負の整数のときは、命題の左辺は正、右辺は負ですから
明らかに成り立つ。」で十分。

お礼

回答ありがとうございます。
証明の根本が間違っていたんですね。

回答No.4

R_Earl

> n=k のとき
> k^2≧k ... -k^2≦-k ... 1
> が成り立つと仮定すると
> n=k+1 のとき
> (k+1)^2≧k+1
> k^2+2k+1≧k+1
> k^2≧-k
> 1より
> k^2≧-k^2

「n=k+1 のとき」以降の書き方が良くないです。
証明の中に結論を使うのは別に良いです(結論が正しいと言っていなければ)。
ただ、「n=k+1 のとき(k+1)^2≧k+1」とだけ書いてしまうと
「n=k+1のとき、(k+1)^2≧k+1は正しい」という意味にとられます。
これだと、結論が正しいかどうかを示す前に「結論は正しい」と言っている事になります。

単に「(k+1)^2≧k+1」と書くのではなく、ちゃんと
「(k+1)^2 ≧ k+1が正しい事を示す」と書いた方が良いです。

「n=k+1 のとき」から「k^2≧-k」の部分までを書き直すと、
こんな感じでしょうか。

n = k + 1の時に命題が成り立つ事を示す。
すなわち
(k + 1)^2 ≧ k + 1 … (*)
が成り立つ事を示す。
(*)式を変形すると
k^2 + 2k + 1 ≧ k + 1
k^2 ≧ -k … (**)
となる。
逆に(**)を変形して(*)を導く事もできる(今回はその部分は省略します)。
よって(**)の不等式が成り立てば(*)も成り立つ。
そこで(**)の不等式が正しい事を示す。
・
・
・

> k^2≧-k
> 1より
> k^2≧-k^2
>
> k^2 は正数だからこれは左辺は正数、右辺は負数になる。したがってこれは成り立つ

ここはまずいです。

k^2 ≧ -k^2はたしかに正しいです。
しかし「k^2 ≧ -k^2が成り立つから、k^2 ≧ -kが成り立つ」
と言う論法が成り立ちません。
なのでk^2 ≧ -k（つまり(**)式）が成り立つとは限らないので、
(k + 1)^2 ≧ k + 1（つまり(*)式）が成り立つという事ができません。

例えば

a ≧ c
b ≧ c

という2つの大小関係があったとします。
この二つの大小関係が正しい時、「a ≧ bは正しい」と言えるでしょうか。
それが分かったら、
今度はa, b, cにa = k^2, b = -k, c = -k^2を当てはめて考えてみてください。

回答No.2

carvelo

>n=k のとき
k^2≧k ... -k^2≦-k ... 1
が成り立つと仮定すると
n=k+1 のとき
(k+1)^2≧k+1

は問題ありですね．
k^2≧k
という仮定から
(k+1)^2≧k+1
という不等式が言えたらいいわけですが，
質問者さんの解答では証明に結論を使ってしまっていることになります．
もう少し具体的に言うと，
k^2≧k と (k+1)^2≧k+1 の2つの仮定から
k^2≧-k^2 を証明していることになると思います．

解答を書くなら

kを非負整数としてn=kのときに成り立つとすると
k^2≧k
が成り立つ．
このとき，
(k+1)^2=k^2+2k+1≧k^2+1　（kは非負整数故，2k≧0)
帰納法の仮定 k^2≧k から
(k+1)^2≧k+1
これは，n=k+1 のときにも命題が成り立つことを示している

と言った感じになるでしょうか（ちょっと日本語が変かもしれませんが）．

nが負数のときには，n<0，n^2>0から明らか，という程度で十分でしょう．

回答No.1

mm49

興味本位で失礼いたします・・・

n=kのとき
(1)k≧0
k^2≧k
(2)k=0
0^2≧0
(3)k≦0(負の時)
(-k)^2=k^2≧-k

n=k+1のとき
(1)k≧0
(k+1)^2≧(k+1)
k^2+2k+1≧k+1
k^2≧-k
(2)k=0
1≧1
(3)k≦0
(-k+1)^2=k^2-2k+1≧-k+1
k^2≧k

証明できてると思いますが・・・