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数学的帰納法の考え方について

数学的帰納法の考え方が理解できません。 具体例として、Q(n)が、1以上のすべての整数について 成り立つことの証明を元に、理解できないポイントを下記に 挙げます。 Q(n)=1+3+5+7+・・・+(2n-1)=n^2 Q(1)=1=1^2 であるため成り立つ 次に、Q(k)が成り立つのであれば、Q(k+1) も成り立つことを証明する。 Q(k)=1+3+5+7+・・・+(2k-1)=k^2 と仮定する。 証明したい式は、k+1であるから、下記のようになる。 1+3+5+7+・・・+(2k-1)+(2×(k+1)-1)=(k+1)^2 ここで、Q(k+1) の左辺は、先に仮定した Q(k) を使うと、 Q(k+1) の左辺=1+3+5+7+・・・+(2k-1)+(2×(k+1)-1) =k^2 + (2×(k+1)-1) =k^2 + 2k +1 一方、Q(k+1) の右辺は下記のように計算できる。 Q(k+1) の右辺=(k+1)^2 =k^2 +2k +1 したがって、左辺と右辺が等しくなるため、 Q(n)は、1以上のすべての整数について成り立つ。 理解できないのは、Q(k) が成り立つことを仮定して Q(k+1) が 成り立つということが、なぜ主張の証明になるかが解りません。 というのも、Q(k) はこれから証明しようとする式であるのにも かかわらず、それを仮定してしまったら証明にならないと 思うからです。 当方、数学は明るくないので、記載に誤りがありましたら ご容赦ください。 是非とも、お知恵の拝借をお願い致します。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.7

#2です。 連投になってしまいますが、少し気になったので。 #4さんへの「お礼」で >ANo.2さんが表現された「ドミノ倒し」的に、Q(1)、Q(2)、Q(3)・・・ >と成り立っており、その延長線上に、仮定として考えた > Q(k)、Q(k+1) があり、これらも成り立つ。 >それゆえ、Q(n)として一般化することができる。 少し違うと思います。 ・任意の kに対して Q(k)が成り立つと仮定すると、 ・そのとなりである Q(k+1)も成り立つ。 ・これが示されると、  Q(1)が成り立てば、Q(2)が成り立つ。  Q(2)が成り立てば、Q(3)が成り立つ。  ・・・ となり、一般の nについて Q(n)が成り立つと言えることになります。 ですので、先頭の Q(1)がきちんと示されていないといけないのです。 そして、「延長線上に Q(k)、Q(k+1)がある」わけではなく、 「延長していく(一般化する)ために Q(k)、Q(k+1)が成り立つことを示している」 と捉えた方がいいと思います。  

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質問者からのお礼

ご丁寧に軌道修正のアドバイスを頂き、大変感謝しております。 思考回路が逆だったんですね。←理解できていない証拠。 Q(k)、Q(k+1)があるからこそ、Q(n)と一般化することができる。 そのためにも、最初のQ(1)が成り立つことは必須である。 「ドミノ倒し」で例えてみると、途中のドミノ(k)が倒れると、その となりのドミノ(k+1)が倒れてもらわなきゃ困る。 しかし、そもそも最初のドミノ(1)が倒れてくれなければ、当然の ことながら、途中のドミノ(k)が倒れてくれることはない。 ・・・こんなイメージでしょうか。 出発点と繰り返しパターンの二つが決まれば、一般化できる。 ざっくりながら、皆さまからのお知恵を私なりに解釈してみました。 誤りがあるかもしれませんが、理解が深まったような気がします。 ありがとうございました。

その他の回答 (8)

  • 回答No.9

#3です.補足に対する回答です. >数列の和についての具体例を見たのですが、 >「次に、任意の自然数 k をとる。今、P(k) が正しいと >仮定すると P(k + 1) も正しい。」 >のくだりが理解できません。 >P(n)という一般化を目指しているのに、 >P(k)が正しいという「仮定」を証明に使っていることに >違和感を覚えます。 「ペアノの公理」と,その第五番目の公理も理解されれば疑問が晴れるはずです. 「ペアノの公理」は以下を参考にして下さい. http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86

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質問者からのお礼

再度ありがとうございます。 「ペアノの公理」と、素人には仰々しい名前がついていますが、 内容は意外とあっさりしていたので拍子抜けしました。 確かに、第五公理が数学的帰納法の定義として、一番 しっくりきました。 ありがとうございました。

  • 回答No.8

さかさまに考える手があります. #数学では「降下法」とか呼ばれる手法の変形ですけどね 任意の自然数nに対して証明したい n-1のケースからnの場合を証明できるのもわかってる ということは,n-1の場合が証明できればいい. n-1で証明したい n-2のケースからn-1の場合を証明できるのもわかってる ということは,n-2の場合が証明できればいい. こうやって一つずつ落としていくと 自然数ってのはいつか1に到着するのはいいでしょう? そうしたら,1の場合を考えればいい. 1でOKだったら,今たどっていった道をさかさまに登れば 最初の任意の自然数nに対して成り立つことがわかる. これを整理すると 普通の教科書に出てくる論法になるわけです. ============= 難しいこというとたしかに「ペアノ公理系」なんだけども そこまで考える必要はない. 実際は数学的帰納法ってのは,異質な論法なのは間違いなくて 数学的帰納法そのものを議論する数学の一分野もあるくらいだから 公理とかは考えないで素朴にいくのがよいでしょう. ちなみに何が異質かというと 見た目では一コの命題の証明に見えるけど 実際は,自然数nに対して1からnまでの命題を それぞれ階段的に証明しているってところ. ここのせこさが分かりにくいのではなかろうか

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 「降下法」というのですか。初めて聞きましたが、 私には、とてもなじみやすい考え方でした。 もちろん、ご回答の文が読みやすい解説である からこそだと思いますが。 「ペアノ公理系」なるものは、頭の片隅に入れて おきます。 質問の背景にも触れて頂きまして、ありがとうございます。 「段階的に証明」ですか・・・解ったような解らないような ・・・ということは、恐らく解っていないと思います。 何となく解ったような気はするんですけどね。 改めて、御礼申し上げます。

  • 回答No.6

#2です。 >そもそも証明しようとしている式を仮定するということ自体 >が理解できないのですが、これは「そういうものだ」と >覚えるしかないのでしょうか・・・? 帰納法は証明するための手段となるので、「証明したい式」があるはずです。 おおよそ、次の 2つのパターンがあるかと、 ・いまの問題のように、示したい式が初めから提示されている ・いくつか具体的な値を求めた後、成り立つ式を推定し、それを証明する 言葉は「仮定」ですが、 「このようになりますよね?それを示しましょう」という流れに近いかと思います。

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質問者からのお礼

再び、ありがとうございます。 「仮定」という言葉に引きずられ過ぎているのかもしれませんでした。 ご指摘いただいたように解釈いたします。 また、証明のパターンについても教えて頂き感謝いたします。

  • 回答No.5

>そもそも証明しようとしている式を仮定するということ自体 が理解できない… これに関しては、「数学的帰納法」の関知するところじゃなさそう。 Q(1)=1, Q(2)=4, Q(3)=9, を眺めているうちにヒラメくのですかね?   

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質問者からのお礼

再度ありがとうございます。 私が見当違いの考えをしているようで、お恥ずかしい限りです。 改めて、ありがとうございました。

  • 回答No.4
noname#154783
noname#154783

> というのも、Q(k) はこれから証明しようとする式であるのにも > かかわらず、それを仮定してしまったら証明にならないと > 思うからです。 証明の最終目標は「任意の自然数nに対して命題Q(n)が成り立つ」を示すことです. 一方,仮定しているのは, 「あるkに対して命題Q(k)が成り立つ」ことであり,このとき, あるkに対して「命題Q(k)が成り立つ」 ⇒ 「命題Q(k+1)が成り立つ」…(*) ということを示しているのです. そうすると,「あるk」としてk = 1のとき,Q(1)が成り立つことは確認してあるので,(*)よりk = 2のときも成り立ち,したがって,(*)よりk = 3のとき成り立ち… というように,結局,任意の自然数について成り立ってしまいます. これが数学的帰納法の考え方です. # ANo.2さんの「ドミノ倒し」って表現はなんか素晴らしいですね. # 私にはこういう表現は思いつかない.

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 何度も読んでいるうちに、何となく理解しかけてきました。 ANo.2さんが表現された「ドミノ倒し」的に、Q(1)、Q(2)、Q(3)・・・ と成り立っており、その延長線上に、仮定として考えた  Q(k)、Q(k+1) があり、これらも成り立つ。 それゆえ、Q(n)として一般化することができる。 ・・・という理解でよろしいでしょうか? ご回答に対して質問をしてしまい、申し訳ありません。

  • 回答No.3

「数学的帰納法」は,「ペアノの自然数の公理」で,第五番目の公理です. 「数学的帰納法」は,公理ですから,そのまま使うわけです. また,以下も参考にして下さい. 「数学的帰納法の原理」 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95

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質問者からのお礼

参考リンクを張って頂きありがとうございました。 数列の和についての具体例を見たのですが、 「次に、任意の自然数 k をとる。今、P(k) が正しいと 仮定すると P(k + 1) も正しい。」 のくだりが理解できません。 任意の自然数kを引っ張ってきて(?)、 「P(k)が正しいと仮定すると」 という点が解っていません。 P(n)という一般化を目指しているのに、 P(k)が正しいという「仮定」を証明に使っていることに 違和感を覚えます。 公理ということでしたら、覚えるしかないようですね。 頭の弱い小生にお付き合い頂きましてありがとうございました。

  • 回答No.2

こんばんわ。 #1さんも指摘されていますが、数学的帰納法は「ドミノ倒し」な証明法です。 ドミノ倒しって「先頭」を倒さないと始まりませんよね。 なので、 ・証明する数の「先頭」で成り立つこと ・ある数で成り立ったとき、その次(となり)の数でも成り立つこと これら 2つを合わせることで、帰納法として証明ができます。

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質問者からのお礼

「ドミノ倒し」ですか・・・。 確かに、 (1)先頭を倒して (2)任意の数と、次の数でも成り立つことを保証する と帰納法として証明ができる、ということですね。 少しずつですが、理解しかけてきました。 喩えがお上手ですね。 そもそも証明しようとしている式を仮定するということ自体 が理解できないのですが、これは「そういうものだ」と 覚えるしかないのでしょうか・・・?

  • 回答No.1

> … Q(k) が成り立つことを仮定して Q(k+1) が 成り立つということが、なぜ主張の証明になるかが解りません。… それだけでは不十分ですね。 さいわい、 Q(1)=1=1^2=1=1^2 にて成立つことが示されているので、Q(2), Q(3), … でも成立つことが示された、というわけです。    

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 え~っと、Q(1)、Q(2)、Q(3)・・・が成り立つことが示されたことが、 なぜ一般化できるのか理解できていません。 k=1を示した後で k=2、k=2+1、が成り立つから一般化できるという理由が解っていないです。 当方、頭が悪くて申し訳ありません。

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