数学的帰納法について

質問

1・3+2・4＋3・5＋・・・+n(n+2)=(1/6)n(n+1)(2n+7)

これがすべての自然数nに対して成り立つことを示したいのですが。

（I）まずn=1　は　左辺＝1・3＝3　右辺＝3
となり等式は成立する。

（II）ここで、n=kのとき等式が成り立つと仮定すると

　とかいて、はじめのnにn=kを代入しますよね。

その後、模範解答を見ると「（k+1)(k+3)を加えると・・・」 としているのですが

(k+1)(K+3)を加えている理由としては、
n=ｋを成立すると仮定して、n=k+1が成り立つ⇒n=kも当然なりたつ⇒すべての自然数ｎについて与式は成り立つ。　というものなんでしょうか？

ということは、例えば右辺が 2n(n+1)などとしたら、
はじめにn=1で成り立つことを示した後、
n=kを代入し 2k(k+1)を成り立つと仮定し、
n=k+1で 2(k+1){(k+1)+1}・・・☆　となるようにうまく右辺を変形させてあげて、 nのところにk+1が代入されている形になっているので、n=k+1のときに成り立つことが示せて、だからn=kのときも成り立ち、すべての自然数nに対して等式が成立する。

という風に考えればいいのでしょうか？

つまり、右辺が☆の形でn=k+1で元の式のnにk+1を代入した形を示せれば、左辺はともかく右辺だけでn=k+1が成り立つことを示せているんですよね？
つまり問題に戻ると、左辺は1・3＋2・4・・・・+(k+1)(k+3)=　とでも適当に書いておいて実質無視ということでしょうか？

理系の受験生なのですが、帰納法すらまともに書けないのか・・・　と馬鹿にされそうですが・・・。
質問というか確認のようになってしまいましたが、帰納法というのはどういうものなのか？という理解すらままならない状況だったので質問させていただきました。あと5ヶ月でまともな解答がかけるようになるために間に合うかはわかりませんが、地道に努力します。回答よろしくおねがいします。

回答No.1

postro · ベストアンサー

ご質問の主旨が良く理解できなかったので、適切な答えになっているかわかりませんが、
この問題においての数学的帰納法での答えの書き方は
＞（I）まずn=1　は　左辺＝1・3＝3　右辺＝3
＞となり等式は成立する。
＞（II）ここで、n=kのとき等式が成り立つと仮定すると
1・3+2・4＋3・5＋・・・+k(k+2)=(1/6)k(k+1)(2k+7)　・・・ア
が成り立つと仮定したことになりますね。
数学的帰納法を使った証明の場合は、示すべき目標の式は明確です。
その目標の式はn=k+1で成り立つ式
1・3+2・4＋3・5＋・・・+k(k+2)+(k+1)(k+3)=(1/6)(k+1)(k+2){2(k+1)+7}
です。要はこの式が成り立つことをでっちあげればいいわけです（といってもちゃんと理論的に）
成り立つと仮定したア式を使ってでっちあげる。
一目見てア式の両辺に(k+1)(k+3)を加えれば、目標の式の左辺はできあがることがわかる。
つまり、ア式の右辺に(k+1)(k+3)を加えたものがうまく目標の式の右辺になってくれれば良い。
よほど意地悪な問題でない限り必ずなるはずです。
つまり、
(1/6)k(k+1)(2k+7)+(k+1)(k+3)
を変形して
(1/6)(k+1)(k+2){2(k+1)+7}
にでっちあげる作業になるわけです。
目標がはっきりしているからそれほど難しい作業ではないはずです。

お礼

ありがとうございました。
質問というか変な感じになっちゃいましたが・・・　納得できました。
結局、帰納法は目標の式っていうのが明確なのだから、それを見越して、どうすればその式になるのか？
と考えてやれば難しいものでもなさそうですね。

これからいろいろな問題にあたっていきたいとおもいます。ありがとうございました

回答No.2

tatsumi01

まず n=k のときに成り立つから
1・3+2・4＋3・5＋・・・+k(k+2)=(1/6)k(k+1)(2k+7)
です。そして証明したい式は n=k+1 のときですから
1・3+2・4＋3・5＋・・・+k(k+2)+(k+1)(k+3)=(1/6)(k+1)(k+2)(2k+9)
ですが、もちろん等号が成り立つかどうかは不明で証明すべき事項です。

しかし、左辺の最後の項を除いた部分については
1・3+2・4＋3・5＋・・・+k(k+2)=(1/6)k(k+1)(2k+7)
が成り立つと仮定されています。したがって、証明すべき式の左辺にするのに不足する項 (k+1)(k+3) を両辺に加えてやります。
1・3+2・4＋3・5＋・・・+k(k+2)+(k+1)(k+3)=(1/6)k(k+1)(2k+7)+(k+1)(k+3)
これが成立すると仮定したのですから、あとは右辺を変形して望みの式に持って行けば証明します。

左辺を適当に書いておいて、ということではありません。

お礼

なるほど、ありがとうございました。
これからいろいろな問題にあたっていきたいと思います。