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数学的帰納法について

数学的帰納法について、一般的には、nを自然数とするとき、   [1] n= 1 のとき、成立する。  [2] n= k、n= k+1 のとき、成立する。    ゆえに、任意の自然数nのときに成立する。 という手順で示していきますが、 今、kの値の範囲が 1≦k≦n を満たす自然数という条件があり、  [1] k = 1 のとき、成立する。(←は問題ありませんが)  [2] k = n、・・・  という手順で示していきたいとき、k= n+1 とおくと範囲外となります。この場合、  [2] k = n-1、k = n のとき、成立する。  という形で示せば良いのでしょうか? kの値の範囲が上記の場合の、数学的帰納法の[2]の部分の示し方を教えて下さい。

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  • 回答No.4

 何を証明するのか、ということを明確に書いてみれば、ただの数学的帰納法であることがお分かりになるでしょう。答を言えば、 Q(k):「1≦k≦nであるならば、f(x)のk階微分はP(k,x)である」 という命題Q(k)について、 「任意の自然数kについて、Q(k)である」 ということを数学的帰納法で証明すれば良いんです。  Q(k)を別の言い方にすると、 Q(k):「(1≦k≦n)でないか、または、f(x)のk階微分はP(k,x)である」 と表すこともできます。 ● まずk=1のときに証明するのは、 Q(1):「1≦1≦nであるならば、f(x)の1階微分はP(1,x)である」 ですね。別の言い方バージョンを使えば、 「(n<1である)かまたは(1≦nであり、かつ、f(x)の1階微分はP(1,x)である)」 ということです。 ● k>1の場合に証明するのは、 「Q(k-1)ならばQ(k)である」 です。この命題は、もしQ(k-1)が偽であれば、(Q(k)の真偽にかかわらず)真である。だから、Q(k-1)が真である場合についてだけ考えればよい。つまり、 「((1≦(k-1)≦n)でないか、または、f(x)のk-1階微分はP(k-1,x)である)」 ということを前提にして、 「(1≦k≦n)でないか、または、f(x)のk階微分はP(k,x)である」 を導けば良い。

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質問者からのお礼

大変参考となるご回答を頂き、ありがとうございます。 系統立ったご説明のお蔭で、頭の中が整理され、曖昧だった点がすっきりしました。 数学的帰納法の原理についても、改めて理解することができました。 ご教授に心より感謝致します! 本当にありがとうございました。

その他の回答 (3)

  • 回答No.3

前半の > [2] n= k、n= k+1 のとき、成立する。 あたりが相当怪しい。 数学的帰納法は、  [1] n=1 のとき成立する。  [2] n=k のとき成立するならば、n=k+1 のときも成立する。  ゆえに、任意の自然数nのときに成立する。 という手順です。 後半は、何がしたいのか今一つわからないのですが、 ひょっとして、  [1] n=1 のとき成立する。  [2] n≦k のとき成立するならば、n≦k+1 のときも成立する。  ゆえに、任意の自然数nのときに成立する。 という手順の話ではありませんか? この際も、数学的帰納法 自体は前半と同じ物です。 『自然数nについて(中略)が成立する。』 という命題へ直接に帰納法を使うかわりに、 「j≦nであれば、『自然数jについて(中略)が成立する。』」 という命題を(前半の形式の)帰納法で証明しているのです。 この形式を使うと、 [2] で n=k+1 のときに成立することを示す際、 n=k のとき成立することだけでなく、 n=k-1, n=k-2, n=k-3, … の各nで成立することも使ってよい ことになります。 > [2] k = n-1、k = n のとき、成立する。  では、(たぶん)前半の形式の kをひとつずらしたことにしかなりません。

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  • 回答No.2

> 1≦k≦n を満たす自然数 こういう条件があり、その条件を満たすすべてのkで何かが成立することを示したいのであれば、 ・k=1のとき成立することを示す。 ・k=tのとき成立すればk=t+1でも成立することを示す。 のようにするのではないでしょうか。すでに使われている文字を使うのがおかしいと思います。

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  • 回答No.1
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

前半の例はn = …の形にしてあるのに、 後半の例はk = …の形になっているのはなぜですか? 後半部分が ***************************************** kが1≦k≦nを満たす自然数という条件があり、  [1] n = 1 のとき、成立する。  [2] n = k、・・・  ***************************************** であれば問題無いと言えますが。 よろしければ、どういう問題なのかを教えて下さるとありがたいです。

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質問者からのお礼

補足要求を頂いたことで、質問内容をより具体的に提示することができ 結果として参考となるご回答を頂くことができました。 ありがとうございました。

質問者からの補足

ご回答下さり、ありがとうございます。 どのような問題かを補足致しますので、再度ご回答頂ければ幸いです。 これは、微分の高次導関数の問題で、  関数f(x)について、第k次導関数f^(k)(x)を求める問題です。  kの値の範囲として、1≦k≦nを満たす自然数という条件です。 (1)関数f(x)の式にnという文字が入っていること (2)求めるのが第k次導関数であること    以上の理由より、これをを数学的帰納法で証明するときに、  「n=・・・」の形をとることはできず  「[1]k=1、   [2]k=・・・」の手順で証明しようとしており、  その際に、条件として1≦k≦nの範囲があるため、  k=nで成立すると仮定しても、  次のk=n+1が範囲外となるのではないかと思い、質問しました。 よろしくお願い致します。

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