数学的帰納法について

質問

数学的帰納法について、一般的には、ｎを自然数とするとき、　
　[1] ｎ= 1 のとき、成立する。
　[2] ｎ= ｋ、ｎ= k+1 のとき、成立する。
　　　ゆえに、任意の自然数ｎのときに成立する。
という手順で示していきますが、
今、ｋの値の範囲が 1≦k≦n を満たす自然数という条件があり、
　[1] k = 1 のとき、成立する。（←は問題ありませんが）
　[2] k = n、・・・　
という手順で示していきたいとき、ｋ= ｎ+1 とおくと範囲外となります。この場合、
　[2] k = n-1、ｋ = n のとき、成立する。　
という形で示せば良いのでしょうか？
ｋの値の範囲が上記の場合の、数学的帰納法の[2]の部分の示し方を教えて下さい。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

何を証明するのか、ということを明確に書いてみれば、ただの数学的帰納法であることがお分かりになるでしょう。答を言えば、

Q(k):「1≦k≦nであるならば、f(x)のk階微分はP(k,x)である」

という命題Q(k)について、

「任意の自然数kについて、Q(k)である」

ということを数学的帰納法で証明すれば良いんです。

　Q(k)を別の言い方にすると、

Q(k):「(1≦k≦n)でないか、または、f(x)のk階微分はP(k,x)である」

と表すこともできます。

● まずk=1のときに証明するのは、

Q(1):「1≦1≦nであるならば、f(x)の1階微分はP(1,x)である」

ですね。別の言い方バージョンを使えば、

「（n＜1である）かまたは（1≦nであり、かつ、f(x)の1階微分はP(1,x)である）」

ということです。

● k＞1の場合に証明するのは、

「Q(k-1)ならばQ(k)である」

です。この命題は、もしQ(k-1)が偽であれば、(Q(k)の真偽にかかわらず）真である。だから、Q(k-1)が真である場合についてだけ考えればよい。つまり、

「（(1≦(k-1)≦n)でないか、または、f(x)のk-1階微分はP(k-1,x)である）」

ということを前提にして、

「(1≦k≦n)でないか、または、f(x)のk階微分はP(k,x)である」

を導けば良い。

お礼

大変参考となるご回答を頂き、ありがとうございます。
系統立ったご説明のお蔭で、頭の中が整理され、曖昧だった点がすっきりしました。
数学的帰納法の原理についても、改めて理解することができました。

ご教授に心より感謝致します！
本当にありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

前半の
＞　[2] ｎ= ｋ、ｎ= k+1 のとき、成立する。
あたりが相当怪しい。
数学的帰納法は、
　[1] n=1 のとき成立する。
　[2] n=k のとき成立するならば、n=k+1 のときも成立する。
　ゆえに、任意の自然数nのときに成立する。
という手順です。

後半は、何がしたいのか今一つわからないのですが、
ひょっとして、
　[1] n=1 のとき成立する。
　[2] n≦k のとき成立するならば、n≦k+1 のときも成立する。
　ゆえに、任意の自然数nのときに成立する。
という手順の話ではありませんか？

この際も、数学的帰納法 自体は前半と同じ物です。
『自然数nについて（中略）が成立する。』
という命題へ直接に帰納法を使うかわりに、
「j≦nであれば、『自然数jについて（中略）が成立する。』」
という命題を（前半の形式の）帰納法で証明しているのです。

この形式を使うと、
[2] で n=k+1 のときに成立することを示す際、
n=k のとき成立することだけでなく、
n=k-1, n=k-2, n=k-3, … の各nで成立することも使ってよい
ことになります。

＞　[2] k = n-1、ｋ = n のとき、成立する。　
では、（たぶん）前半の形式の
kをひとつずらしたことにしかなりません。

回答No.2

Quattro99

> 1≦k≦n を満たす自然数
こういう条件があり、その条件を満たすすべてのkで何かが成立することを示したいのであれば、
・k=1のとき成立することを示す。
・k=tのとき成立すればk=t+1でも成立することを示す。
のようにするのではないでしょうか。すでに使われている文字を使うのがおかしいと思います。

回答No.1

R_Earl

前半の例はn = …の形にしてあるのに、
後半の例はk = …の形になっているのはなぜですか？
後半部分が

*****************************************
kが1≦k≦nを満たす自然数という条件があり、
　[1] n = 1 のとき、成立する。
　[2] n = k、・・・　
*****************************************

であれば問題無いと言えますが。

よろしければ、どういう問題なのかを教えて下さるとありがたいです。

お礼

補足要求を頂いたことで、質問内容をより具体的に提示することができ
結果として参考となるご回答を頂くことができました。
ありがとうございました。

補足

ご回答下さり、ありがとうございます。
どのような問題かを補足致しますので、再度ご回答頂ければ幸いです。

これは、微分の高次導関数の問題で、
　関数f(x)について、第ｋ次導関数ｆ^(k)(x)を求める問題です。
　ｋの値の範囲として、1≦ｋ≦ｎを満たす自然数という条件です。

(1)関数ｆ(x)の式にｎという文字が入っていること
(2)求めるのが第ｋ次導関数であること

　以上の理由より、これをを数学的帰納法で証明するときに、
　「ｎ=・・・」の形をとることはできず

　「[1]ｋ=1、
　　[2]ｋ=・・・」の手順で証明しようとしており、
　その際に、条件として1≦ｋ≦ｎの範囲があるため、
　ｋ=ｎで成立すると仮定しても、
　次のｋ=ｎ+1が範囲外となるのではないかと思い、質問しました。

よろしくお願い致します。