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数学的帰納法について

すべての自然数 n について  1+3+5+ … +(2n - 1)=n2 …(1) が成り立つことを証明したい. (I) n=1 のとき,左辺=1,右辺=12=1 だから,(1)は成り立つ. (II) n=k のとき,(1)が成り立つと仮定すると 1+3+5+ … +(2k - 1)=k2 …(2) (2)の両辺に 2k+1 を足すと 1+3+5+ … +(2k - 1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2 …(3) (3)はn=k+1 のときも成立することを示している. (I)(II)より,すべての自然数 n について(1)が成り立つ. n=kの時成り立つと仮定すると・・・とあります。 n=k+1 のときも成立することを示している・・・とあります。 確かにそうなのですがn=kは仮定ですよね?仮定したものにさらに1をプラスして成立することを示してどうして証明になるのか?納得できないのです。よろしくお願いします。

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  • 回答No.2

自然数 n を含む述語A(n)を考えます。述語A(n)ってのは、「nに具体的に自然数を入れたら、真(正しい)か偽(正しくない)のどっちかに決まる文(命題)になるもの」という意味で、ご質問の例ならば、   A(n) = 「1+3+5+ … +(2n - 1)=n^2」 ですね。さて、   (a) 「A(1)」を証明した。   (b) 「任意の(つまり、すべての)nについて、(A(n) ならば A(n+1)である)」を証明した。 この二つが揃えば、以下のコトが分かります:  まず、A(1)が真(つまり 1 = 1^2 は正しい)。だから、 「A(1)であり、かつ、任意のnについて、(A(n) ならば A(n+1)である)」なので 「A(1)であり、かつ、(A(1) ならば A(2)である)」つまり、 A(2)も真(つまり 1+3 = 2^2 は正しい)。だから、 「A(2)であり、かつ、任意のnについて、(A(n) ならば A(n+1)である)」なので 「A(2)であり、かつ、(A(2) ならば A(3)である)」つまり、 A(3)も真(つまり 1+3+5 = 3^2 は正しい)。だから、… と、以下同様。  ですから結局、(a)(b)を証明すれば 「任意のnについて、A(n)」 が証明できたことになる訳です。  で、(b)「任意のnについて、(A(n) ならば A(n+1)である)」を証明するにはいくつか(互いに等価な)やり方があって、 「(A(n)が真で、かつ、A(n+1)が偽である)ようなnはない」 を証明する。あるいは 「任意のnについて(A(n)が偽か、または、A(n+1)が真である)」 を証明する。あるいは 「任意のnについて、A(n+1)が偽だと仮定するとA(n)も偽である」 を証明する。あるいは 「任意のnについて、A(n)が真だと仮定するとA(n+1)も真である」 ということを証明する。など。  ご質問の例では、この最後のやり方を使っている訳です。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。

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  • 回答No.7

こんばんわ。 たとえば、「ある事象が前日起これば、今日もその事象は必ず起きる」とします。 ある日、この事象が一度起こると、それ以降の日はずっとこの事象が起こることになります。 「ある日」が先頭の n= 1であり、 「ある事象が前日起これば、今日もその事象は必ず起きる」が「n=kの時成り立つと仮定すると・・・とあります。n=k+1 のときも成立すること」に対応します。 これを洒落で表現すると、「数学的昨日法」ということになります。(^_^;)

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  • 回答No.6

n=1のときに成り立つことを証明しているところがポイントです。 ・n=kのときn=k+1が成り立つ →k=1のときにn=1が成り立っていればn=2のときにも成り立つことが証明される →k=2のときにn=2が成り立つので、(上記より)n=3のときにも成り立つ … といった具合で延々と成り立つことが証明できますね

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  • 回答No.5

数学的帰納法は,ペアノの公理を使っているだけです.つまり,ペアノの公理の5番目の公理が、数学的帰納法の原理なのです.公理を使っているわけですから,証明も何も不必要なわけです. 下に貼り付けたURLで,ペアノの公理をご確認下さい. ペアノの公理 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86

参考URL:
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86

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  • 回答No.4

(I)でn=1では成立することを立証していますね。 (II)でn=kで成立するならば、n=k+1でも成立することを立証しています。 これらから、まずはn=k=1で成立するから、n=(k+1)=2でも成立します。 したがって、n=(k+1)で成立するから、n=(k+2)=3でも成立します。 同様に、n=(k+2)で成立するから、n=(k+3)=4でも成立します。 と考えると、あらゆる自然数で成立することになります。

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  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

自然数の変項 n を持つ述語 A(n) について、 「A(1) が成り立つ」 「A(k) が成り立つならば A(k+1) が成り立つ …が任意の k で言える」 とき、 「任意の n について A(n) が成り立つ」 と言えます。 このことを「数学的帰納法」といい、 これは、具体的な述語 A(n) の内容によらない 自然数 n の性質のひとつです。 数学的帰納法は自然数の定義の一部である …とも言う。 貴方が納得できるかどうかは別にして、 この論法が使えるような n だけを「自然数」と 呼ぶ約束になっているのです。

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  • 回答No.1

難しく考えすぎないでね~。元代数学の非常勤講師。 n=1 のとき、 1=1^2 で成り立つ。 n=2 のとき、 1+3=4=2^2 で成り立つ。 n=3 のとき、 1+3+5=9=3^2 で成り立つ。 ・・・・・・・ n=k のとき 1+3+5+7+・・・・・+k = k^2 になるはず! が、前提になっていることを忘れないで?  このとき、kは奇数としています。 早い話、n=2のとき、n=3のとき とひとつずつやるのが面倒だ! だから、適当に k とやって置いて、一つ増やして、あっていれば、 全体があっているはずだ! (n=2 のときあっていれば、n=3もあってますよね?) というのが数学的帰納法。しっかりと教科書見てみましょう。 もしもそれで信じられないのなら、この問題でいいから 10くらいまで 手計算してみて? 11 のときもあっているはずだと思えるから。 (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

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