整数から整数へマップする多項式の条件

質問

【問題】多項式 p が以下の条件を満たす必要十分条件はなんですか？
(1)n∈Z ⇒ p(n)∈Z (Zは整数の集合)
(2)pのすべての係数は有理数

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係数がすべて整数の場合以外に、いくつか思いつく限りの例を挙げてみました。
x/2 + (x^2)/2
x/6 + (x^2)/2 + (x^3)/3
一般化して(Π[k=0,n](x+k))/n!

以上の考察から Σ[n=0,∞](C_n*((Π[k=0,n](x+k))/n!)) (C_nは整数) で p の一部を表現できます。でも、必要十分条件まではまだまだ遠いです。これは線形代数の教科書で出てきた問題なのですが、どう線形代数を使ってよいのかもよく分かりません。考え方の道しるべを示していただけると助かります。

回答No.3

koko_u_ · ベストアンサー

>族Bが1,x,x^2,x^3,...を表現できたとしても、
>それがp全体を表現することにはならないと思うのですが。
今考えているベクトル空間は有理数係数の多項式 Q[x] なので、
その基底 { 1, x, x^2, x^3 ... } が B の元の線型結合で表現できれば十分です。

お礼

返事おくれて申し訳ありません。問題の多項式族 P は多項式のベクトル空間に含まれているので、ベクトルセット{P_n = (Π[k=0,n](x+k))/n!}が多項式ベクトル空間の基底であることを証明すれば、題意を証明したことになるということですね（加えてP_nの線形結合を考える際、すべての係数が整数であることが必要十分であることを証明しないといけないです）。詳しい説明本当にありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

>pの基底であることを証明する段になるとちんぷんかんぷんなのです
1, x, x^2, x^3, ... が B の線型結合で表現できれば良い。
有理係数なら「逆に解く」のも容易だと思います。

お礼

pは整数係数の多項式以外にも、x/2+(x^2)/2のような有理係数の多項式も含むので、族Bが1,x,x^2,x^3,...を表現できたとしても、それがp全体を表現することにはならないと思うのですが。「逆に解く」とはどういうことですか？
丁寧な回答感謝しています。ありがとうございます:D

回答No.1

koko_u_

>考え方の道しるべを示していただけると助かります。
もうだいたい出来ていそうです。(細かく見てませんが)

その後の方針としては、今考えた多項式の族 B が、有理係数の多項式全体の集合の成すベクトル空間 Q[x] の基底となっていることを示す。

p(x) ∈ Q[x] をその基底で表現した時に、n ∈ Z ⇒ p(n) ∈ Z であるので、n = 0, -1, -2, ... を代入することで、その係数が整数となることを示す。

整数値を代入することで、係数が整数となるような基底 B を得ることが重要です。

お礼

ありがとうございます！
なるほど、どう線形代数が絡んでくるのかは分かりました。
でも、族B {(Π[k=0,n](x+k))/n!, n=0,1,2...} がpの基底であることを証明する段になるとちんぷんかんぷんなのです…。Bが線形独立であることは自明ですが、Bの線形結合がすべてのpを網羅できるのかが不明です。（反例は思いつきませんでしたが）