高校数学の整数問題です

質問

[問題]　素数pに対してpx^2＋xが整数となるような有理数xをすべて求めよ。

これを取り扱った授業では次のような解説がありましたが、(4)の式から【　】部へともっていく論理の展開が分かりません。

　―・―・ー・―・―

[解答]
xは有理数ゆえ、x＝n/m …(1) とおける。
(m,nは互いに素な整数で、m＞0 …(2))

これを与式に代入して、
p(n/m)^2＋(n/m)＝k (k：整数) …(3)
とすれば、
k＝(pn^2＋mn)/m^2
＝{n(pn＋m)}/m^2 …(4)

【mとnは互いに素ゆえ、kが整数となるには素数pがmの倍数、つまりmはpの約数であることが必要。】
　∴m＝1 or p

(ｉ) m＝1のとき

(4)よりk＝n(pn＋1)となるから、n,pは整数より、kも整数となり成立。
このとき(1)より x＝n

(ii) m＝pのとき

(4)よりk＝{n(pn＋p)}/p^2＝{n(n＋1)}/p

m(＝p)とnは互いに素より、n＋1がpの倍数と分かり
n＋1＝pl (l：整数) …(5)
とおけば、k＝nl(＝整数) となる。

このとき(1)、(5)より
x＝n/m＝(pl－1)/m
＝(pl－1)/p＝l－(1/p)

以上(ｉ)、(ii)より
x＝n または x＝l－(1/p)
(n,lは任意の整数)

　―・―・―・―・―

僕の思考回路としては、(4)の式を見て、kが整数ということは
分子のn(pn＋m)がm^2を因数にもつ、
つまりn(pn＋m)＝●m^2
(●：整数)
と考えたのですが、この後の進め方が分からず手が止まりました。
解説の論理展開の意味がお分かりの方、ご教授ください。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

わかりやすい形に変形した方がいいですね。
k＝{n(pn＋m)}/m^2 …(4)

(4)式は次のように変形した方がわかりやすいと思います。
pn^2＝ m(km- n)

【mとnは互いに素ゆえ】、右辺が mの倍数であるためには、pが mの倍数でなければなりません。
よって、【kが整数となるには素数pがmの倍数、つまりmはpの約数であることが必要。】となります。
(3)式において、左辺は明らかに nでくくれるので右辺を knと表しておけば、もう少しみやすい形になります。

最後の「思考回路」の部分ですが、●は結局 kですよね。
互いに素という条件(素数であることも含めて)から倍数の関係を導き出すところがポイントになります。

お礼

(4)式を変形して「互いに素」の条件を使えるようにするという流れがよく分かりました。【　】の文言がきっちりした論理として頭に入ってきました。ありがとうございます。

回答No.1

f272

k=(n(pn+m))/m^2が整数になるということは

n(pn+m)がmで2回割り切れる
⇒n(pn+m)がmで割り切れる
⇒pn+mがmで割り切れる（nとmは互いに素だから）
⇒pnがmで割り切れる
⇒pがmで割り切れる（nとmは互いに素だから）

お礼

明快な視点をありがとうございました。大変分かりやすかったです。