高校レベルの数学の問題（方程式）教えてください！！

質問

整数a,bを係数とする2次方程式X^2+aX+b=0が有理数の解αをもつときαは整数であることを示せ。

問題集の解答
α＝n/m(m,nは互いに素な整数、mは0でない)
とおく。
「質問壱　α＝n/mと置いたのは有理数の形にした。だけ？」

αはX^2+aX+b=0の解なので
(n/m)^2+a(n/m)+b=0
n^2+amn+bm^2=0
mが±1でない　ならば、mはある素因数Ｐを含む。

「質問弐　±1の条件はm=±1ならαは整数になるから？でも整数も有理数なのだからそのままでもいいのでは？」

するとn^2=-m(an+bm)も素因数Pを含む。
n^2の素因数はnの素因数だから、Ｐはnの素因数となり、m,nは公約数Ｐをもつことになる。これはm,nが互いに素であるという仮定に反する。よってm=±1 α=±n(整数)

実を言うとこの解答はほとんどわかっていません。
1．α=n/mという有理数の形にしてみる。
2.実際に与式にn/mを代入したとき、n/mが約分して整数の形になってしまう。だからαが有理数の解ならαは必ず整数ってことが証明できる。っていうことをしているんでしょうか？？　
でも解答みるとなんか難しいことかいてるんで良くわからなくて？こんなに難しいことしないと駄目なんでしょうか？？解答ってこれ背理法ってやつですか？あまり背理法理解してないもんで。これ背理法かどうかもわからない。

回答No.1

j-mayol · ベストアンサー

背理法とは結論と逆の仮定をしてその命題が矛盾することで、
本来の命題の証明をするものです。
この問題の場合、αが整数であることを証明したいのでαが整数でないと仮定した場合に、矛盾が生じることを証明しているのです。
前提としてαが有理数とあるのでα＝ｎ／ｍ（互いに素）とおいて、これが、整数でない、つまりｍ≠１と仮定してその矛盾を証明しているわけです。ｍ≠１で矛盾するのだからｍ＝１でしょってことです。

お礼

おぉー。なるほど～なんかそういわれるとわかった気になるなぁー。教え方上手いですね！！ありがとうございます！！しかもこんなに早い解答！！感謝します！！