二次方程式

質問

整数、a,bを係数とする2次方程式x＾2＋ax＋b=0が有理数の解をαをもつとき、αは整数であることを示す。

これは、例えば√３は無理数である証明のしかと同様に求めるのですか？
α=n/m（ｍ、ｎは自然数でお互いに素）と仮定するといっったふうに？？

回答No.5

oshiete_goo

＃５のご回答でeatern27さんが模範解答を大部分示して下さったのですが，質問者さんの反応がずっとないようなので，このあたりの分野は不慣れなものと判断して，解答の続きを示しておきます．

ただし，＃５のご回答中の「αが整数でないとすると、」
という部分は[解１]では仮定せずに，次のように話を出発することにします．

[解１]
有理数解αが存在したとすると，
一般性を失うことなく
α＝n/m　ただし「ｍ，ｎは整数で互いに素，ｍ＞０」
とおける．

以下，＃５さんのご回答と同様，与式のｘにα＝n/mを代入して，m^2を掛けて整理，変形すると
n^2=－m(an＋bm)
まで来ます．

ここで，a，b，ｍ，ｎは整数より，an＋bmは整数だから，右辺はｍの倍数なので，ｍで割り切れます．

すると，左辺のn^2もｍで割り切れなくてはなりません．

ところが，そうするとｍとｎが互いに素（つまり最大公約数が１・・・＠）であることと，ｍ＞０の仮定により，ｍ＝１に限られます．

なぜならば，もしｍ≧２とすると，ｍは２以上のある素因数ｋ（≧２）をもちますが，n^2がｍで割り切れることより，nも素因数ｋで割り切れることになります(∵素数ｋはこれ以上分解できないので，ｎそのものがｋで割り切れなくてはならない)．

そうすると，ｍとｎが１より大きな公約数ｋをもつことになって，「互いに素」（条件＠）に反することになるからです．

したがってｍ＝１なので，解α＝n（＝整数）となる．
（証明おわり）

[解２]＃５のように，背理法でいくとすると，

有理数解αが整数でないと仮定すると，
α＝n/m と表せる．但し「n,mは整数で互いに素，m≧２」を満たすように一般性を失うことなく表現できる．[ｍ＝±１だとαが整数になるから]

というように出発して，
n^2=－m(an＋bm)
のところから続けます．
右辺がｍで割り切れるので，左辺n^2もｍで割り切れなくてはならない．

ここで，ｍ≧２の仮定よりｍは素因数ｋ(≧２)を持つが，
そうすると，左辺n^2もｋを素因数に含むこと，すなわちｎ自身がｋで割り切れることになる．

ところがそうすると，ｍとｎが２以上の公約数ｋをもつことになって互いに素の仮定に反す．
これは矛盾であり，したがって有理数解αが存在したとすればそれは整数である．
（証明おわり）

回答No.4

eatern27

αが整数でないとすると、
α=n/m と表せる。但しn,mは整数で互いに素、m>0を満たす。
x^2+ax+b=0にx=α=n/mを代入すると
(n/m)^2+a(n/m)+b=0

両辺にm^2をかけて
n^2+anm+bm^2=0

両辺からanm+bm^2を引いて
n^2=m(-an-bm)

(-an-bm)は整数だから、右辺はmの倍数です。左辺は?

回答No.3

hinebot

>一般性を失うことなく
>α=n/m　ただし「ｍ，ｎは整数で互いに素，ｍ＞０」
>とおけます．

あとは解と係数の関係を使って、ｍ≠１だと矛盾することを導きましょう。
（解αが有理数なら、もう一つの解も有理数であることはすぐに言えますね。）

【２次方程式の解と係数の関係】
ax^2+bx+c = 0 (a≠0) の２つの解をα、βとすると
α＋β＝-b/a、αβ=c/a である。

回答No.2

oshiete_goo

再度＃１です．

一般性を失うことなく
α=n/m　ただし「ｍ，ｎは整数で互いに素，ｍ＞０」
とおけます．
（ｎは０でも負でも良い）

こうしないで＃１のままだと，ｍ＝－1もありです．
結論(αが整数)は変わりませんが．

補足

すいません。
いろいろかんがえたのですが、解き方がわかりません。
できれば詳しくおしえてもらうのは駄目ですか？

回答No.1

oshiete_goo

＞α=n/m（ｍ、ｎは自然数でお互いに素）と仮定するといっったふうに？？

全くその通り．ただし，「ｍ、ｎは自然数で互いに素」ですね．
分母を払って，ｍ＝１を示すことを目標に．