根と係数に関する問題です。詳しいかた教えてください。

質問

整係数の方程式 x^4+ax^3+bx^2+cx+4 において次の問に答えよ。という問題で（1）～（3）まであるのですが詳しいかた教えてください。

（1）根をα、β、γ、ωとするとき、根と係数の関係を求めよ。
（2）有利数解xは整数解であることを証明せよ。
（3）４根が相異なる整数であるとき、係数a、b、cを求めよ。

自分ではよくわからないので問題をそのまま書かせていただいてます。しっかり理解して自分のものにしたいと思ってますので、できれば考え方と、解答をお願いします。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

（１）
（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ）（ｘ－ω）＝０
を展開して比べる。x^4の係数が１だから分かりやすいでしょ。
α＋β＋γ＋ω＝－ａ
（２つずつの積）αβ＋αγ＋αω＋βγ＋βω＋γω＝ｂ
（３つずつの積）αβγ＋αβω＋αγω＋βγω＝－ｃ
（４つの積）αβγω＝４

（２）
解をｐ／ｑ（ｐとｑは互いに素）としてｘに代入した後、分母を払う。
右辺は０だからｑで割り切れるが、左辺は割り切れない。矛盾。
だから有理数解ならばｑ＝１。だから解は整数。

（３）
全部整数ならば
αβγω＝４より４の約数
相異なるとすると
１，－１，２，－２
しかない。（４があると残り３個は１か－１になってしまって
同じものができてしまう。）
後は（１）に戻ってａ，ｂ，ｃが求められる。

お礼

ありがとうございます。自分にとってはとても難しい問題でした。この後もしっかり自分の頭で考えて理解出来るよう頑張ります。