数学IIBの問題です。

質問

f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1は整数を係数とするxの4次式とする。4次方程式f(x)=0の重複も含めた4つの解のうち2つは整数で残り2つは虚数であるという。このときa,b,cの値を求めよ。

京都大の過去の入試問題なんですけど、解き方が分からないのでもしよければどなたか解説していただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.8

さゆみ（@sayumi0570） · ベストアンサー

Ｆ’（－１）＝３Ａ－２Ｂ＋Ｃ－４＝０
訂正です

１とー１の時は虚数解なし

お礼

分かりやすく丁寧な解説で助かりました(*´ω｀*)
ありがとうございます!m(_ _)m

回答No.7

さゆみ（@sayumi0570）

Ｘ＾４＋ＡＸ＾３＋ＢＸ＾２＋ＣＸ＋１

　－１で重解のとき

Ｆ（－１）＝－Ａ＋Ｂ－Ｃ＋２＝０
Ｆ’（１）＝３Ａ－２Ｂ＋Ｃ－４＝０

Ｂ＝２Ａ－２
Ｃ＝Ａ

Ｘ＾４＋ＡＸ＾３＋（２Ａ－２）Ｘ＾２＋ＡＸ＋１
（Ｘ＋１）＾２　　でわると

Ｘ＾２＋（Ａ－２）Ｘ＋１

Ｆ（ｘ）＝（Ｘ－２）＾２・（Ｘ＾２＋（Ａ－２）Ｘ＋１）

虚数解を持つので

（Ａ－２）＾２－４＜０
Ａ（Ａ－４）＜０

　０＜Ａ＜４
Ａ＝１，２，３
（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（１，０、１）、（２，２、２）
　　　（３、４、３）

回答No.6

さゆみ（@sayumi0570）

Ｘ＾４＋ＡＸ＾３＋ＢＸ＾２＋ＣＸ＋１

１で重解のとき

Ｆ（１）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋２＝０
Ｆ’（１）＝３Ａ＋２Ｂ＋Ｃ＋４＝０

Ｂ＝－２Ａ－２
Ｃ＝Ａ

Ｘ＾４＋ＡＸ＾３＋（－２Ａ－２）Ｘ＾２＋ＡＸ＋１
（Ｘ－１）＾２　　でわると

Ｘ＾２＋（Ａ＋２）Ｘ＋１

Ｆ（ｘ）＝（Ｘ－２）＾２・（Ｘ＾２＋（Ａ＋２）Ｘ＋１）

虚数解を持つので

（Ａ＋２）＾２－４＜０
Ａ（Ａ＋４）＜０

　－４＜Ａ＜０
Ａ＝－３、－２、－１
（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（－３，４、－３）、（－２，２、－２）
　　　（－１、０、－１）

回答No.5

noname#157574

数学IIBなる科目は現在は存在いたしません。

お礼

数学IIですね、間違えました(´Д⊂
ご指摘ありがとうございますm(_ _)m

回答No.4

nag0720

f(x)=(x-p)(x-q)(x^2+sx+t)
とおいて、展開して係数を比較すると、
s-p-q=a
t-ps-qs+pq=b
pqs-pt-qt=c
pqt=1

a,b,c,p,qが整数なので、s,tも整数
また、s^2-4t<0　より　t>0　なので、
t=1、(p,q)=(1,1),(-1,-1)
となる。

これを上記の連立方程式に代入して解くと、
(a,b,c)=(s-2,2-2s,s-2),(s+2,2+2s,s+2)

また、s^2<4　より、s=0,±1　なので、全部で６通りの答がでてきます。

お礼

丁寧な解説ありごとうございます!(*´ω｀*)
助かりました!(ノ∀｀)

回答No.3

mister_moonlight

実数係数の方程式が、虚数解を持つなら、その共役な虚数も解である。
従って、iを虚数単位として、m＋n*i、m-n*i、p、q(p、qは整数)が虚数解。

4次方程式の、解と係数を使えば、求められる。
4次方程式の解と係数を知ってればだが。

知らなければ、m＋n*i＋m-n*i＝2m、(m＋n*i)(m-n*i)＝m＾2＋n＾2だから、この方程式は、{x＾2-2mx＋m＾2＋n＾2}*(x-p)*(x-q)＝x^4+ax^3+bx^2+cx+1。
従って、左辺を展開して、右辺の各次数との係数を比較する。p、qは整数だから、その値は限定される。

実際の計算は、自分でやって。

お礼

4次方程式の解と係数の関係は知ってますけど解答に書いてはいけないと言われました(´Д⊂
解答ありがとうございました!(^^)

回答No.2

さゆみ（@sayumi0570）

(X-A)(X-B)(X-C)(X-D)=0
問題のＡ，Ｂ，Ｃ，のことじゃなくてこういうふうにおけるという事です

回答No.1

さゆみ（@sayumi0570）

(X-A)(X-B)(X-C)(X-D)=0

だから
４次方程式の定数項はＡ×Ｂ×Ｃ×Ｄなので
定数項が１なので　整数の解は１の重解　－１の重解　１とー１が解
に場合わけで着ます

１の重解の場合は　　（Ｘ－１）＾２・Ｑ（ｘ）　　だから　ｆ（１）＝０　　Ｆ’（１）＝０

ー１の重解の場合は　　（Ｘ＋１）＾２・Ｑ（ｘ）　　だから　ｆ（ー１）＝０　　Ｆ’（ー１）＝０

１とー１だと　（Ｘ－１）（Ｘ＋１）Ｑ（ｘ）とおけるので
ｆ（１）＝０　　ｆ（－１）＝０

とちゅうまでですけど