数学の方程式の分野の問題で質問があります

質問

数学の問題で質問があります。

２次方程式 Xの2乗-X-1＝0の2つの解をα、βとおく。

3次方程式X３乗+ａX2乗+bX+1＝0 がα、βを解にもつとき、係数a,bの値を求めよ。

また、この3次方程式のもうひとつの解を求めよ。

途中式、答えまで書いていただけるととても助かります。

よろしくお願いします

回答No.3

gohtraw

与えられた三次方程式がαおよびβを解に持つので、この三次方程式は
（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－ｃ）＝０
とあらわすことができ、αおよびβが二次方程式ｘ＾２－ｘ－１＝０の解であるということは
（ｘ－α）（ｘ－β）＝ｘ＾２－ｘ－１
ということなので、
（ｘ＾２－ｘ－１）（ｘ－ｃ）＝ｘ＾３＋ａｘ＾２＋ｂｘ＋１
左辺を展開して係数比較すればａ～ｃが求められます。ちなみに三次方程式のもう一つの解はｃ。

回答No.2

alice_44

問題に書いてある通りに考えてみよう。
αの2乗-α-1＝0,
βの2乗-β-1＝0
を使って
αの3乗+ａαの2乗+bα+1＝0,
βの3乗+ａβの2乗+bβ+1＝0
から α,β を消去すれば、
a,b についての方程式が得られる。
消去のためには、α,β の基本対称式が
活躍することになる。

回答No.1

Tacosan

何をどこまで考えた?