２次方程式

質問

ｘの２次方程式ax^2+bx-20=0がある。この方程式の１つの解が-5で、b-aの値が8であるとき、a,bの値ともうひとつの解を求めよ。

答えはa＝３　b＝１１　ｘ＝４／３です。

解き方が分かりません。教えて下さい。お願いします。

回答No.6

sanori

へいっ　まいどっ　　＾＾

＞＞＞最後の連立方程式の解き方が分かりませんでした。

そうですか。

ｂ　＝　ａ（５－ｃ）　　・・・（あ）
－２０　＝　－５ａｃ　　・・・（い）
ｂ　－　ａ　＝　８　　・・・（う）

（う）より、
ｂ　＝　ａ　＋　８
これを（あ）に代入
ａ＋８　＝　ａ（５－ｃ）　
ａ（５－ｃ）－ａ　＝　８
ａ（４－ｃ）　＝　８
ａ　＝　８／（４－ｃ）
これを（い）に代入
－２０　＝　－５・｛８／（４－ｃ）｝・ｃ
１　＝　２／（４－ｃ）・ｃ
４－ｃ　＝　２ｃ
ｃ　＝　４／３　　　←いっちょあがり

これを（い）に代入。
－２０　＝　－５ａ・４／３
ａ　＝　２０・３／（５・４）　＝　３　　←いっちょあがり

これを（う）に代入。
ｂ　－　３　＝　８
ｂ　＝　１１　　←完了

計算自体は、これで終わりですが、
計算の途中で、
ａ（４－ｃ）　＝　８
から
ａ　＝　８／（４－ｃ）
にするときに、両辺を　４－ｃ　で割っていますから、
ｃ＝４　ではないことを確認しなくてはいけません。
結果的に、ｃ＝４／３　ですから、合格です。

なお、前回回答の末尾のコメント

＞ちなみに、この連立方程式は、
＞下手に計算すると、二次方程式になり、
＞上手に計算すると、一次方程式になります。

に関して疑問を持たれている回答者様がいらっしゃいますが、

（い）より、
ｃ　＝　４／ａ
これを（あ）に代入して
ｂ　＝　ａ（５　－　４／ａ）
となりますが、
かっこの中を簡単にしようと思って、うっかり両辺にａをかけてしまうと、
ｂａ　＝　ａ（５ａ　－　４）
５ａ^2　－（４＋ｂ）ａ　＝　０
ａ（５ａ　－（４＋ｂ））　＝　０
となって、ａ＝０　という不要な答えが出てしまう、ということなのでした。
たぶん、ほかにも、「まずい解き方」はあると思います。
（い）のような、文字同士の掛け算がある式がある連立方程式を解くときには、このようなことに対する注意が必要です。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.5

YQS02511

素直に解いてみてはどうでしょう。

　ax^2+bx-20=0 の１つの解が-5,つまりx=-5を代入して,
　25a-5b-20=0
　 5a-b-4=0
より,b=5a-4　・・・・(1)
　また,b-a=8 ・・・・(2)
なので,(1)を(2)へ代入して,
　　5a-4-a=8
4a=12
a=3
これを(1)へ代入して,b=15-4=11
このとき,
　3x^2+11x-20=0
　(3x-4)(x+5)=0
よって,x=3/4, -5
　ゆえにもうひとつの解は,x=4/3

　どうでしょうか？

回答No.4

owata-www

オーソドックスなやり方は他の方のとおりですが、

解の１つが-5なので、
ax^2+bx-20=(ax-4)(x+5)=ax^2+(5a-4)x-20=0で、
b=5a-4=a+8よりaが求まって…とやれば余計な連立方程式を立てずに済みます。

なるべく、二次方程式の場合は他の変数を置かないほうがきれいに解けるものです（他には因数分解を使うとか、今回は無理だけど）

余談ですが、#2さんの連立方程式で二次方程式を出すやり方が思いつきません…orz

回答No.3

noname#77471

この式の解は-5とdとすると
解と係数の関係から
-20/a=-5d・・・(1)
-b/a=-5+d
この二つの式を整理すると
-(20+5b)/a=-25
20+5b=25a・・・(2)

またb=a+8を(2)に代入
20+5a+40=25a
a=3、b=11
(1)にaの値を代入しもう一つの解を求めると
d=4/3

高校生ならば解をいきなり代入するよりも
解と係数の関係を使った方が発展性がありお勧めです。

回答No.2

sanori

こんばんは。

関門が３つあるので、★印で示しました。

まず、
解の一つが　－５　ということがわかっているので、
（ｘ^2 の係数が１ではなくａであることに注意して）
ａｘ^2　＋　ｂｘ　－　２０　＝　ａ（ｘ　＋　５）（ｘ　－　ｃ）
という式が成り立ちます。　←★ポイントその１
（ｃ：　もう一つの解）

これが、いかなるｘについても常に成り立たないといけません。
そのためには、ｘ^2 の係数、ｘの係数、定数項が全て一致する必要があります。　←★ポイントその２

右辺を展開すれば、
ａｘ^2　＋　ｂｘ　－　２０　＝　ａｘ^2　＋　ａ（５－ｃ）ｘ　－　５ａｃ

係数の比較
ｘ^2 の係数が一致　→　ａ＝ａ
ｘ の係数が一致　→　ｂ　＝　ａ（５－ｃ）
定数項が一致　→　－２０　＝　－５ａｃ

というわけで、
ｂ　＝　ａ（５－ｃ）
－２０　＝　－５ａｃ
ｂ　－　ａ　＝　８　　　　←問題文にある条件
という連立方程式ができました。

ちなみに、この連立方程式は、
下手に計算すると、二次方程式になり、
上手に計算すると、一次方程式になります。

以上、ご参考になりましたら。

補足

こんばんは。最後の連立方程式の解き方が分かりませんでした。

回答No.1

noname#74443

一つの解が-5ですけぇ、代入してみる。
a(-5)2+b(-5)-20=0
25a-5b-20=0....(1)

b-a=8だから、b=a+8、これを(1)に代入してみる。
25a-5(a+8)-20=0
20a-40-20=0
20a=60
a=3 b=a+8ですけぇ、aを代入すると、
b=3+8=11

a,bを元の2次方程式に代入。
3x2+11x-20=0
あとは因数分解するなり、解の公式で解いて下せぇ。

お礼

解の公式で解けました。わざわざありがとうございます。