至急、この数学の問題の解き方を教えてください！

質問

2次方程式x二乗+2x+4=0の2つの解をα、βとして、次の問いに答えよ。「2次方程式2x二乗+ax+b=0の解の1つがβ/αとなるように、係数a、bの値を定めよ。ただし、a、bは実数とする。」　答え：a=2、b=2
この問題はどうやったら解けるのか、計算過程がわかる方がいらっしゃいましたら至急お願いします。友達に聞いても誰一人わからないらしく、私も知恵袋等で検索してみましたがわからなかったので困っています。お願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

奇を衒わずに、問題文で言われたとおりにやってみよう。

α, β は　x^2 + 2x + 4 = 0 の解だから、-1 ± i√3。

どっちがどっちか判らないが、
とりあえず、α = -1 + i√3、β = -1 - i√3 の場合を考えてみる。

x = β/α = (-1 + i√3)/2 を 2x^2 + ax + b = 0 へ代入すると、
(-2 - a + 2b) + (i√3)(-2 + a) = 0 と整理できる。

a, b が実数であることより、(-2 - a + 2b), (-2 + a) は実数
だから、(-2 - a + 2b) = (-2 + a) = 0。これを解いて、a = b = 2。

α = -1 - i√3、β = -1 + i√3 の場合にも、同じ a, b が出る。

お礼

素早い回答ありがとうございました。
説明もとても分かりやすく、助かりました！

回答してくださったほかの方々もありがとうございました。
勝手ながら、私が、説明が一番わかりやすいと思った回答者様をベストアンサーとさせていただきます。

回答No.4

mister_moonlight

さっきの解は、正直にやり過ぎてる。

β/αを2つ目の方程式に代入すると、β＾2＋a*αβ＋b*α＾2＝0　‥‥(1)
最初の方程式から、β＾2＝-2β-4、β＝-α-2　を(1)で代入してβを消すと、(2-b)*α＋4(a-b)＝0。
αは虚数で、a、bは実数から、2-b＝a-b＝0　、つまり(a、b)＝(2、2)。

回答No.2

mister_moonlight

こんなのは、実数係数の2次方程式は、共役な複素数解を持つことを知ってれば簡単。

最初の方程式の判別式＜0から、2つの解は複素数解。α＝m+n*i、β＝m-n*i iは虚数単位　とする。
α＋β＝-2＝2m、αβ＝m＾2＋n＾2＝4　から(m、n)＝(-1、±√3*i)

どっちでも同じだから、(m、n)＝(-1、√3*i)でやってみよう。
実数係数の2次方程式は、共役な複素数解を持つ。
β/α＝有理化して＝(-1＋√3*i)/2　だから、共役な複素数＝(-1-√3*i)/2も解。
よって、-a/2＝((-1＋√3*i)/2)＋((-1-√3*i)/2)　よって、a＝2
b/2＝(((-1＋√3*i)/2)*(((-1-√3*i)/2)＝1.
よって、(a、b)＝(2、2)。

回答No.1

Tacosan

問題文にそのまま従えばいい.

求める 2次方程式が実係数であることに配慮すれば難しくない.