問題の意味が分からない

質問

xの二乗をx^2、虚数をiと書きますね

係数が実数の4次方程式
　　x^4 +ax^3 +bx^2 +cx +d=0…(1)
が1+√3i,1-√3iを解に持つとする

方程式(1)が異なる4つの解を持ち、それらの実部の2乗と虚部の2乗の和がすべて等しく、かつ4つの解の和が1であるならば、方程式(1)は
　　x^4 -x^3 +(あ)x^2-(い)x+(うえ)=0
となる。

という問題で、その前の設問で
(1)の左辺は
　　(x^2 -2x +4){x^2 +(a+2)x+(2a+b)}
c=8-2b
d=8a+4b
が分かっています。

まず、「それらの実部の2乗と～等しく」の意味がよく分かりません。
そして、解答を読んでもいまいちピンときません。

どなたか解説いただけないでしょうか

回答No.3

Tiffa9900 · ベストアンサー

ANo.2です。
ごめんなさい。虚部はANo.1さんが言われてる通りでした。(ｏ_ _)ｏ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0#.E5.AE.9A.E7.BE.A9
a + bi の時、a を実部、b を虚部と言うみたいですね。

これを元に改めて考えてみると

> まず、「それらの実部の2乗と～等しく」の意味がよく分かりません。
これに関しては、現在判明している2つの解 1+√3i と 1-√3i に適用して考えると、
　1 + √3i これの実部は 1、虚部は √3。それぞれ2乗は、1、3。その和は、4。
　1 - √3i これの実部は 1、虚部は - √3。それぞれ2乗は、1、3。その和は、4。
これらと残り２つの解も含めて、上記の結果は 4 と言う事でしょう。

ANo.2では、お騒がせして申し訳ありませんでした。m(_ _)m

※※※ 以降、蛇足となるその後の解き方を記載しています ※※※

前の設問より、
　x^4 + ax^3 + bx^2 + cx +d = 0
⇔ (x^2 - 2x + 4){x^2 + (a+2)x + (2a+b)} = 0
が判っています。
これを満たすには、左辺の前半部分がゼロ、すなわち「(x^2 - 2x + 4) = 0」（※１とする）であるか、
または、後半部分がゼロ、すなわち「{x^2 + (a+2)x + (2a+b)} = 0」（※２とする）を満たす必要があります。

※１に関しては、前の設問でキーになった内容となりますが、
解として明らかになっている、1 + √3i 、1 - √3i です。

次に※２に関して考えてみると、{x^2 + (a+2)x + (2a+b)} = 0 に解の公式を適用して

　x = (-(a+2) ± √((a+2)^2 - 4(2a+b))) / 2
⇔ x = (- a - 2 ± √(a^2 + 4a + 4 - 8a - 4b)) / 2
⇔ x = (- a - 2 ± √(a^2 - 4a + 4 - 4b)) / 2

∴ x = (- a - 2 + √(a^2 - 4a + 4 - 4b)) / 2 , (- a - 2 - √(a^2 - 4a + 4 - 4b)) / 2

ここで「4つの解の和が1」なので
　(1 + √3i) + (1 - √3i) + {(- a - 2 + √(a^2 - 4a + 4 - 4b)) / 2} + {(- a - 2 - √(a^2 - 4a + 4 - 4b)) / 2} = 1
これを整理すると(といっても±を展開した部分は打ち消しあうので以外と簡単)、
⇔ 2 - a - 2 = 1
⇔ a = - 1
これを※２の解に代入すると

　x = - 1/2 + √(9/4 - b) , - 1/2 - √(9/4 - b)

ここで、この２解が実数解、すなわち (9/4 - b) >= 0 と仮定した場合、
　- 1/2 + √(9/4 - b) は全体が実部、虚部は無しとなる。
　- 1/2 - √(9/4 - b) は全体が実部、虚部は無しとなる。
「それらの実部の2乗と～等しく」との事であるが、
「{- 1/2 + √(9/4 - b)}^2 + 0^2」と「{- 1/2 - √(9/4 - b)}^2 + 0^2」が等しくなる為には、9/4 - b = 0 が最低条件であり、
その場合、和は 1/4 となる為、既に判明している和 4 と一致しない。
よって、この２つの解は実数解ではない。つまり (9/4 - b) < 0 となり、
√(9/4 - b)が虚部となる事は明らか、よって i = (-1)^2 を√の外に出すと、
　x = - 1/2 + √(b - 9/4)i , - 1/2 - √(b - 9/4)i

　- 1/2 + √(9/4 - b) の実部は -1/2、虚部は √(b - 9/4)。それぞれ2乗は、1/4、(b - 9/4)。その和は、4。
　- 1/2 - √(9/4 - b) の実部は -1/2、虚部は - √(b - 9/4)。それぞれ2乗は、1/4、(b - 9/4)。その和は、4。
どちらも同じ式になるが、
　1/4 + b - 9/4 = 4
⇔ b = 6

これで、(a,b) = (-1,6) が求まった為、c,dも求まる
　c = 8 - 2b = -4
　d = 8a + 4b = 16

これを(1)に代入すると
　x^4 - x^3 + 6x^2 - 4x + 16 = 0

あ = 6、い = 4、う = 1、え = 6
でしょうか？

お礼

詳しい解説ありがとうございます！
模範回答はαやβ,ω,l,m,n,oとやたら沢山の文字を使うので混乱してしまいましたが
Tiffa9900様の大変丁寧な説明で私の頭でも理解できました。

あ、答えですが、すべて合っていました。
今度はこれを参考に自分でといてみようと思います。

改めまして、本当にありがとうございました。

回答No.2

Tiffa9900

> まず、「それらの実部の2乗と～等しく」の意味がよく分かりません。
これに関しては、現在判明している2つの解 1+√3i と 1-√3i に適用して考えると、
　1 + √3i これの実部は 1、虚部は √3i。それぞれ2乗は、1、-3。その和は、-2。
　1 - √3i これの実部は 1、虚部は - √3i。それぞれ2乗は、1、-3。その和は、-2。
これらは、-2で等しいですね！ってことかな。

ただ、これを踏まえて考えてみたんだけど、
そうすると、b = 9/2 になって、恐らくセンター試験方式なんだろうけど、(あ)に当てはまらないんですよねぇ。
なんか勘違いしているのかなぁ？

中途半端な回答で申し訳ありません。
もうちょっと考えてみて、わかりそうなら再度回答します。m(_ _)m

お礼

ありがとうございます。
仰るとおり、センターの過去問です。
説明不足ですいません

回答No.1

toranekosan222

四つの解を
A+iB
C+iD
E+iF
G+iH
とすると、
A^2+B^2(虚部と実部の、それぞれの二乗の和）
=C^2+D^2=E^2+F^2=G^2+H^2（すべて等しい）
という事でしょうね。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
なるほど、そういうことですか！
すっきりしました。