- 締切済み
a、b、c、dは実数の定数である
方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである このときa、b、c、dの値を求めよ 解の2つをα、βとするとそれらの共役複素数も解なのはわかりましたがそこからを教えてください
- 数学・算数
- 回答数8
- ありがとう数1
- みんなの回答 (8)
- 専門家の回答
みんなの回答
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>複素零点とはなんですか? 失礼。 複素根とか、虚数解のほうがふつうでしたね。 私的には、虚数解といわれると「純虚数の解」と考えてしまうもんで、つい。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>複素根零点とはなんですか? 「複素零点」の誤打。 >また、「ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5i」 >(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) >とはならないと思うんですが… 「ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5i」とは t+s=19+2i, t~s~=4+5i という意味なのですね。 見逃してました。 ならば ts=4-5i らしいから、 (x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i) ならば OK なのでしょうか? [修正版] ↓ (x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i) …(1) と想定した場合、 (x - s~)(x - t~) = x^2 - (19-2i)x + (4+5i) …(2) (1) の零点を勘定してみると、 s = 18.822 + 2.287i t = 0.178 - 0.287i らしい。
補足
修正ありがとうございます 複素零点とはなんですか?
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
実係数 4 次方程式の複素根零点を {s, s~}, {t, t~} の 2 ペアとして、 (x - s)(x - s~)(x - t)(x - t~) = x^4 + ax^2 + bx^2 + cx + d (x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) …(1) と想定した場合、 (x - s~)(x - t~) = x^2 - (19-2i)x + (4-5i) …(2) なので、(1), (2) の右辺を掛け合わせれば {a, b, c, d} を得る。 (1) の零点を勘定してみたところ、 s = 18.764 + 1.756i t = 0.236 + 0.244i らしい。 ひとまず、参考まで。
補足
複素根零点とはなんですか? また、「ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5i」 (x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) とはならないと思うんですが…
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>x^2 - (s+t~)x + st~ = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) >のs+t~が19+2iなのは何故ですか? >s~+tが19+2iの可能性もあると思います そうですね。 ならば、何種類の解があるのか、試してみて。
補足
そもそも x^2 - (s+t~)x + st~ = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) のとき、s+t~が19+2iだとすると、問題文の「他の2つの積は4+5i」からs~tが4+5iでした すみません
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
題意から、 実係数 4 次方程式の複素根ペアを {s, s~}, {t, t~} として、 (x - s)(x - s~)(x - t)(x - t~) = x^4 + ax^2 + bx^2 + cx + d (x - s)(x - t~) = x^2 - (s+t~)x + st~ = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) などと想定してみたら?
補足
x^2 - (s+t~)x + st~ = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) のs+t~が19+2iなのは何故ですか? s~+tが19+2iの可能性もあると思います
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
#1です。 p~sを直接求めると大変そうですね。(^^; そこで再度問題を確認すると、求めたいものは・・・? 対称式の利用といったうまい変形を使わないとダメかもしれませんね。
補足
すみません、ピンと来ないのでもう少し教えてほしいです
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
四つの解をp±qi、r±siとします。共役複素数どうしの和は実数になるので、問題文の「ある二つの和」というのは共役でない二つの解の和ということになります。従って p+qi+r+si=19+2i (p-qi)(r-si)=4+5i これを展開して係数を比較すればp、q、r、sの連立方程式が出来ます。それを解くと四つの解が出ます。解が判ればもとの方程式も判りますね。
補足
実部と虚部を比較して p+r=19 q+s=2 pr-qs=4 -ps-qr=5 1段の式よりr=19-p、2段の式よりs2-q これらを3段へ代入して19p-p^2-2q+q^2=4 また、4段へ代入して-2p+2pq-19q=5 整理して q=(2p+5)/(2p-19) これを19p-p^2-2q+q^2=4に代入して整理すると -4p^4+152p^3-1825p^2+172p+5586=0 となってしまったのですが如何すればいいでしょうか?
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんにちわ。 >解の2つをα、βとするとそれらの共役複素数も解なのはわかりましたが たとえば、一般に共役な複素数同士の和はどうなりますか? そのことから、「どのような解の組合せ」が和や積の条件を与えているかが絞り込まれます。 未知数 4つに対して、条件式も 4つ与えられるので、 連立で解くことができます。
補足
条件式とは p+r=19 q+s=2 pr-qs=4 -ps-qr=5 であってますでしょうか? また、これらを上手く変形する方法はないでしょうか?
関連するQ&A
- 共役複素数
a、b、c、dは実数の定数である 方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである このときa、b、c、dの値を求めよ 2つの解α、βを、 α=p+qi、β=r+si とおくと、その共役複素数 ¬α=p-qi、¬β=r-si も解で、 x^4+ax^2+bx^2+cx+d=(x-α)(x-β)(x-¬α)(x-¬β)と表せられる ここでα+β=19+2iとすると、 (x-α)(x-β)=x^2-(19-2i)x+(4+5i) (x-¬α)(x-¬β)=x^2-(19+2i)x+(4-5i) であり、x^4+ax^2+bx^2+cx+d=(x-α)(x-β)(x-¬α)(x-¬β)と表せることから、この右辺の積がx^4+ax^2+bx^2+cx+dと同じになる というところまで様々な方のおかげでたどり着いたのですが、右辺をかけると、-38x^3が出たりx^2の係数に虚数があったりとx^4+ax^2+bx^2+cx+dに合わなくなってしまったんです どうすればいいでしょうか?教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 実数係数の二次方程式の解の条件?
実数係数の二次方程式 ax^2+bx+c=0 (a≠0) において、二つの解をα、βとし、判別式をDとするとき、 (I)「二つの解が共に正」⇔「D≧0, 2解の和>0, 2解の積>0」 (II)「二つの解が共に負」⇔「D≧0, 2解の和<0, 2解の積>0」 (III)「一つの解が正、他の解が負」⇔「2解の積<0」 とあるのですが、 どうして(I)(II)の場合にはD≧0が必要で、(III)の場合にはD≧0は必要ないんですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- y=x^3+ax^2+x+1が極値を持つa範囲
y=x^3+ax^2+x+1が極値を持つのはaの値の範囲がどのような時か? 解いてみると y=x^3+ax^2+x+1が極値を持つ条件は,2次関数y’=3x^2+2ax+1の符号が変わる実数xがあることが条件ですから,D>0です D/4=a^2-3>0 で a<-√3, √3>aになります ここで質問なのですが,y’=3x^2+2ax+1の符号が変わる実数xとありますが、なぜ実数なのですか? 異なる2つの虚数解ではダメな理由はなんでしょうか まあy=ax^2+bx+cの頂点が(-b/2a,-D/4a)よりD<0だからy座標-D/4aがx軸と交点を持たないのは明らかだからD<0ではだめなのは分かります。 しかしax^2+bx+c=0となる異なる2つの虚数解はあるわけで,この虚数解は符号が変わる虚数xにはならないのでしょうか? すいませんが今の高校では複素数,虚数,共役複素数は習いますが、複素数平面などは習わないので虚軸とかも全くわかりません 虚数というのも 教科書にはb≠0である複素数a+biを;虚数という と書いてるくらいなのでよく分からないです 一応wikiとかで調べましたが
- ベストアンサー
- 数学・算数
- やり方もしくは解答を教えてください。お願いします;
やり方もしくは解答を教えてください。お願いします; 虚数単位→i 1)2つの複素数a+biと2-3iの和が純虚数、積が実数となるように、実数a,bの値を定めよ。 2)立方体の底面の縦を1cm、横を2cm、それぞれ伸ばし、高さを1cm縮めて直方体を作ったら、体積が50%増加した。もとの立方体の1辺の長さを求めよ。(3次方程式の文章問題・体積) 3)2解α,βに対しα+2、β+2を解とする二次方程式など ・二次方程式x^2-2x+7=0の2つの解をα,βとするとき、次の2次方程式を1つ作れ。 (1)α+2,β+2 (2)-2α,-2β (3)α^2,β^2
- 締切済み
- 数学・算数
- 2次方程式の照明の問題で
『実数abc及び複素数αについて、αがxに関する2次方程式ax^2+bx+cの解であるならば、αの共役複素数も方程式ax^2+bx+cの解であることを照明しろ』 と言う問題なんですが、α+β=-b/aとαβ=c/aの公式を使ってやるのだと思ったのですが、どうしても上手く求めることができません。 どうやって照明したらいいか、ヒントをいただけるとありがたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 問題の意味が分からない
xの二乗をx^2、虚数をiと書きますね 係数が実数の4次方程式 x^4 +ax^3 +bx^2 +cx +d=0…(1) が1+√3i,1-√3iを解に持つとする 方程式(1)が異なる4つの解を持ち、それらの実部の2乗と虚部の2乗の和がすべて等しく、かつ4つの解の和が1であるならば、方程式(1)は x^4 -x^3 +(あ)x^2-(い)x+(うえ)=0 となる。 という問題で、その前の設問で (1)の左辺は (x^2 -2x +4){x^2 +(a+2)x+(2a+b)} c=8-2b d=8a+4b が分かっています。 まず、「それらの実部の2乗と~等しく」の意味がよく分かりません。 そして、解答を読んでもいまいちピンときません。 どなたか解説いただけないでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
結局複素零点とはなんだったんでしょうか 長い間ありがとうございました