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a、b、c、dは実数の定数である

方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである このときa、b、c、dの値を求めよ 解の2つをα、βとするとそれらの共役複素数も解なのはわかりましたがそこからを教えてください

みんなの回答

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.8

>複素零点とはなんですか? 失礼。 複素根とか、虚数解のほうがふつうでしたね。 私的には、虚数解といわれると「純虚数の解」と考えてしまうもんで、つい。    

noname#156419
質問者

お礼

結局複素零点とはなんだったんでしょうか 長い間ありがとうございました

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  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.7

>複素根零点とはなんですか? 「複素零点」の誤打。 >また、「ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5i」 >(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) >とはならないと思うんですが… 「ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5i」とは t+s=19+2i, t~s~=4+5i という意味なのですね。 見逃してました。 ならば ts=4-5i らしいから、   (x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i) ならば OK なのでしょうか?   [修正版]    ↓   (x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)     …(1) と想定した場合、   (x - s~)(x - t~) = x^2 - (19-2i)x + (4+5i)    …(2) (1) の零点を勘定してみると、   s = 18.822 + 2.287i   t = 0.178 - 0.287i らしい。    

noname#156419
質問者

補足

修正ありがとうございます 複素零点とはなんですか?

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  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.6

実係数 4 次方程式の複素根零点を {s, s~}, {t, t~} の 2 ペアとして、   (x - s)(x - s~)(x - t)(x - t~) = x^4 + ax^2 + bx^2 + cx + d   (x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4+5i)     …(1) と想定した場合、   (x - s~)(x - t~) = x^2 - (19-2i)x + (4-5i)    …(2) なので、(1), (2) の右辺を掛け合わせれば {a, b, c, d} を得る。 (1) の零点を勘定してみたところ、   s = 18.764 + 1.756i   t = 0.236 + 0.244i らしい。 ひとまず、参考まで。    

noname#156419
質問者

補足

複素根零点とはなんですか? また、「ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5i」 (x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) とはならないと思うんですが…

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  • 178-tall
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回答No.5

>x^2 - (s+t~)x + st~ = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) >のs+t~が19+2iなのは何故ですか? >s~+tが19+2iの可能性もあると思います そうですね。 ならば、何種類の解があるのか、試してみて。    

noname#156419
質問者

補足

そもそも x^2 - (s+t~)x + st~ = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) のとき、s+t~が19+2iだとすると、問題文の「他の2つの積は4+5i」からs~tが4+5iでした すみません

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  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.4

題意から、  実係数 4 次方程式の複素根ペアを {s, s~}, {t, t~} として、    (x - s)(x - s~)(x - t)(x - t~) = x^4 + ax^2 + bx^2 + cx + d    (x - s)(x - t~) = x^2 - (s+t~)x + st~ = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) などと想定してみたら?    

noname#156419
質問者

補足

x^2 - (s+t~)x + st~ = x^2 - (19+2i)x + (4+5i) のs+t~が19+2iなのは何故ですか? s~+tが19+2iの可能性もあると思います

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  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.3

#1です。 p~sを直接求めると大変そうですね。(^^; そこで再度問題を確認すると、求めたいものは・・・? 対称式の利用といったうまい変形を使わないとダメかもしれませんね。

noname#156419
質問者

補足

すみません、ピンと来ないのでもう少し教えてほしいです

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  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.2

四つの解をp±qi、r±siとします。共役複素数どうしの和は実数になるので、問題文の「ある二つの和」というのは共役でない二つの解の和ということになります。従って p+qi+r+si=19+2i (p-qi)(r-si)=4+5i これを展開して係数を比較すればp、q、r、sの連立方程式が出来ます。それを解くと四つの解が出ます。解が判ればもとの方程式も判りますね。

noname#156419
質問者

補足

実部と虚部を比較して p+r=19 q+s=2 pr-qs=4 -ps-qr=5 1段の式よりr=19-p、2段の式よりs2-q これらを3段へ代入して19p-p^2-2q+q^2=4 また、4段へ代入して-2p+2pq-19q=5 整理して q=(2p+5)/(2p-19) これを19p-p^2-2q+q^2=4に代入して整理すると -4p^4+152p^3-1825p^2+172p+5586=0 となってしまったのですが如何すればいいでしょうか?

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  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.1

こんにちわ。 >解の2つをα、βとするとそれらの共役複素数も解なのはわかりましたが たとえば、一般に共役な複素数同士の和はどうなりますか? そのことから、「どのような解の組合せ」が和や積の条件を与えているかが絞り込まれます。 未知数 4つに対して、条件式も 4つ与えられるので、 連立で解くことができます。

noname#156419
質問者

補足

条件式とは p+r=19 q+s=2 pr-qs=4 -ps-qr=5 であってますでしょうか? また、これらを上手く変形する方法はないでしょうか?

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G6030の電源落ち
このQ&Aのポイント
  • G6030の電源が突然落ちる問題について
  • 購入から10カ月経ったG6030の印刷中に突然電源が落ちる問題が発生しています。電源部分の接触不良ではないと思われますが、保証期間内の修理について教えていただきたいです。
  • G6030の電源が印刷中に突然落ちる問題について質問です。接触不良ではなさそうなので、保証期間内の修理について教えてください。
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