方程式についての問題。。。

質問

（1）方程式x3乗ーx2乗＋ax＋b＝０の解が1つがx＝１＋iであるとき、実数解a,bの値を求めよ。またほかの解を求めよ。

x＝１＋iを方程式に代入したのはいいんですがそれからなにをすればいいかよくわかりません。

（2）直線Jの方程式　y=2ｘ＋１とするとき、Jに関して点A（１，1）と対称な点Bの座標を求めよ。

対称の時の仕方が教科書みてもいまいちわかりません。どなたか詳しく説明してくれませんか？

回答No.2

debut · ベストアンサー

1.A+Bi=0のとき、A=0,B=0だから、連立する
　といいのでは。
2.対称点を(a,b)とすれば、(1,1)との中点
　((a+1)/2,(b+1)/2)は直線上にあります。
　つまり、これをy=2x+1に代入できます。
　また、(a,b)と(1,1)の傾き(b-1)/(a-1)は
　直線y=2x+1に垂直なので、-1/2になります。
　（直線の垂直条件・・２つの傾きの積＝－１）

お礼

説明ありがとうございます。

回答No.5

angrox

さっきの回答で他の解で1-ⅰを忘れてました。

回答No.4

angrox

(2)はNo.2さんと同じ解き方なので省略します。この解き方を覚えておけば後で役に立ちます。
(1)は、実係数の方程式が複素数解を持つとき、その共役複素数も解であることを利用します。(1)の方程式を(x+U)(x^2+1)=0と置いて恒等式を解けばおしまいです。あっさりとa=1,b=-1、他の解x=1が出てきます。直接代入は計算ミスが出やすいのでお勧めしません。

お礼

参考になる説明ありがとうございます。

回答No.3

kkkk2222

（１）
Ｘ＾３－Ｘ＾２＋ＡＸ＋Ｂ＝０
α＝１＋i
β＝１－i
α＋β＝２
αβ＝２
Ｘ＾２ー２Ｘ＋２＝０
（Ｘ＾２ー２Ｘ＋２）（Ｘの一次式）＝０
割り算を実行すると、
Ｘ＾３－Ｘ＾２＋ＡＸ＋Ｂ
＝（Ｘ＾２ー２Ｘ＋２）（Ｘ＋１）＋【ＡＸ＋（Ｂ－２）】
【ＡＸ＋（Ｂ－１）】が恒等的に０より
Ａ＝０、Ｂ＝２、他の解はＸ＝－１、１－i

直接代入するならば、
（１＋i）＾２＝２i
（１＋i）＾３＝（１＋i）２i＝２iー２
Ｘ＾３－Ｘ＾２＝ー２
ー２＋Ａ（１＋i）＋Ｂ＝０
ー２＋Ａ＋iＡ＋Ｂ＝０
実部と虚部に分けて
（Ａ＋Ｂ－２）＋iＡ＝０＋０＊i
よって、Ａ＝０、Ｂ＝２
Ｘ＾３－Ｘ＾２＋２＝０
因数定理を使用、Ｘ＝－１のとき
ー１－１＋２＝０
（Ｘ＋１）（Ｘの二次式）＝０
割り算を実行して
（Ｘ＋１）（Ｘ＾２ー２Ｘ＋２）＝０
Ｘ＾２ー２Ｘ＋２＝０より
解の公式（その２）より
Ｘ＝１±i
よって、他の解は－１、１－i

（２）
Ｙ＝２Ｘ＋１
点Ａ（１，１）
（１，１）をとおり、Ｙ＝２Ｘ＋１に垂直な直線の方程式は
Ｙ－１＝（－１／２）（Ｘ－１）
Ｙ＝（－１／２）（Ｘ－１）＋１　
２式を連立させて
２Ｘ＋１＝（－１／２）（Ｘ－１）＋１　
２Ｘ＝（－１／２）（Ｘ－１）
４Ｘ＝－Ｘ＋１
５Ｘ＝１
Ｘ＝１／５、Ｙ＝７／５
これは、Ａ、Ｂの中点の座標Ｍ（１／５、７／５）
Ｂの座標（Ｓ、Ｔ）と置くと、
（Ｓ＋１）／２＝１／５
（Ｔ＋１）／２＝７／５
計算してＢ（－３／５、９／５）

または
Ｂ（Ｓ，Ｔ）とし、
中点Ｍ（（Ｓ＋１）／２、（Ｔ＋１）／２）がＹ＝２Ｘ＋１上にある事より、
（Ｔ＋１）／２＝（Ｓ＋１）＋１、変形して
【１】２Ｓ－Ｔ＋３＝０
直線ＡＢの傾きが（－１／２）より
（Ｔ－１）／（Ｓ－１）＝－１／２　（Ｓ≠１）　変形して、
【２】Ｓ＋２Ｔー３＝０
【１】【２】を連立して、Ｂ（－３／５、９／５）

お礼

みなとても参考になりましたが詳しく書いていただき答え合わせにも役に立ちました。ありがとうございます。

回答No.1

noname#101087

>.... x3乗ーx2乗＋ax＋b＝０の解が1つがx＝１＋iであるとき、実数解a,bの値を求めよ。またほかの解を求めよ。 ....

まずは、(1)だけ。

[ヒント]
・解の1つが x=1+i ならば x=1-i も解のはず。これから2次(因数)多項式を求めます。
・残りは1次(因数多項式)なので (x+R) とでもしましよう。
・2次と1次の多項式を掛ければ x^3-x^2+ax+b と等値ですから、実数 a,b,R がわかります。

お礼

説明ありがとうございます。