連立二次方程式

質問

二乗の記号が打てないので読みにくくてすいません。
Ｘ二乗＋Ｙ二乗＝５という円の方程式とＹ＝Ｘ－１という直線の共有点を求める際に、直線の式を円の式に代入してＸの二次方程式として解きＸ＝－1、２を得た後に、この解を再度円の式に代入すると、（-1,2)
(2,-1) (-1,-2) (2,1)が出てしまいます。そのうちで二つは直線の式を満たさないので、解ではないことはわかるのですが、何で値が四つになるのかわかりません
教えてください

回答No.6

noah0011 · ベストアンサー

Ｙ＝Ｘ－１ と　Ｙ二乗＝（Ｘ－１）二乗　が同じではないということによるものです。たしかに、
Ｙ＝Ｘ－１　ならば　Ｙ二乗＝（Ｘ－１）二乗
ですが、
Ｙ二乗＝（Ｘ－１）二乗　ならば　Ｙ＝Ｘ－１　
というのは誤りです。これは正しくは
Ｙ二乗＝（Ｘ－１）二乗　ならば　Ｙ＝Ｘ－１　またはＹ＝－Ｘ＋１
となります。（実際に、（-1,2)、(2,-1)は　Ｙ＝－Ｘ＋１　を満たし、(-1,-2) (2,1)は　Ｙ＝Ｘ－１　を満たします。）

あなたの解法では、二乗したときに、
Ｙ＝Ｘ－１　と　Ｙ＝－Ｘ＋１
が混じってしまったため、解が２ｘ２で４個出てしまっています。

このような二つの式が同じことを示すかどうか、という問題は
式が複雑になると間違えやすくなるのでお気をつけください。

とりあえず二乗や四乗など、偶数乗をしたときには一度立ち止まって確認するのが得策でしょう。　

取り敢えず二乗の記号のせておきますね
全角＾　
半角^

お礼

逆はまた真ならずですね
ありがとうございます

回答No.8

exodus55

ちょっと補足要求が難しいのですが…。

えっとまず、基本的なことから説明すると、連立方程式というのは二つの式をグラフに書いたときに交わるところを求めるために解きます。

直線と直線（一次式と一次式）で交点を持つなら必ずx=○、y=△、というようにその交点の座標が求められます。

x=○、y=△を二つの式に代入すると▽=▽みたいになります。

（例）
y=x+1とy=-x+1の交点を求めよ。

y=1、x=0となります。y=1、x=0を上の式に入れると1=1となります。

これと同様に二次式と一次式を求めてみてください。上のように1=1が成り立てば解（交点）となり、ならなければ解ではないのです。

難しいでしょうか？言葉足りずですいません。

お礼

ありがとうございます

回答No.7

11th_style

> 二次方程式と一次方程式の連立だとどうして最初に出た答えを円の式に代入すると四つの解になり、直線の式に代入すると二つ解しかでないのでしょう？

の答えは、

> この操作では最初のy=x-1という直線は出てきませんので、関係のない答えも出てしまいます。

のつもりです。算出されたxを円に代入する操作では、最初の直線はまったく見てないので余分な答えが出ます。

逆に直線の式に代入するときは円の式を見てませんが、グラフを書けば円を見なくても正しい答えのみしかでないことがわかると思います。

お礼

ありがとうございます

回答No.5

mirage70

x^2+y^2=5は、原点を中心とする半径√5の円ですので、
x=-1に対して、第２，第３象限にyは値を持ちます。即ち、異符号の値。
x=2に対しても同様です。
y=x-1に入れれば、対応する値は１個のみになります。

お礼

ありがとうございます

回答No.4

abyss-sym

Ｙ＝Ｘ－１ と Ｙ＝－Ｘ＋１
これは２乗すると同じになってしまいます。
したがって,Ｘ^2＋Ｙ^2＝５ に代入したとき区別がつかなくなてしまいます。
これを解くと,両方の直線と円との交点が出てきてしまいます。
なので、２＋２＝４つ値が出てしまうんです。

お礼

ありがとうございます
なんとなくイメージはわいたんのですが、更に疑問が産まれてしまいました。例えば両方が一次の方程式であれば、一つの式から出た答えを与えられた二つの式のどちらに代入しても答えが（Ｙ＝Ｙとかになるときもありますが）一つに決まるのに、二次方程式と一次方程式の連立だとどうして最初に出た答えを円の式に代入すると四つの解になり、直線の式に代入すると二つ解しかでないのでしょう？

回答No.3

zoe_falken

＞二乗の記号が打てないので読みにくくてすいません

パソコン上での乗数の表現方法は「＾」を使います。
ひらがなの「へ」のキーで出ます。
Xの2乗の場合、「X^2」と打ちます。

＞何で値が四つになるのかわかりません
Xの値に対し、それぞれの解を持つからです。
この場合、Xの解が二つあるのでYの解もそれぞれ二つ、計4つの解が出るわけです。

ではなぜ、それぞれのXが解を持つかというと、私にはそれが円の本質であるとしかいえません。

そもそも、円の方程式は「ある点からの距離が一定である点の軌跡」を示しています。
この場合、ある点＝原点・距離＝√５の点の軌跡が与えられた方程式の意味です

距離ですから、符号は関係ありません。
このため、Xの解に対し、正負両方の解が生まれるわけです

ご理解いただけたでしょうか？

お礼

お早い回答ありがとうございます
なんとなくイメージはわいたんのですが、更に疑問が産まれてしまいました。例えば両方が一次の方程式であれば、一つの式から出た答えを与えられた二つの式のどちらに代入しても答えが（Ｙ＝Ｙとかになるときもありますが）一つに決まるのに、二次方程式と一次方程式の連立だとどうして最初に出た答えを円の式に代入すると四つの解になり、直線の式に代入すると二つ解しかでないのでしょう？

回答No.2

11th_style

x=-1やx=2を円の方程式に代入する操作も、共有点を求める操作です。x=-1もx=2もy軸に平行な直線ですので、円の方程式と２点で交わります。各xに対して答えが出てくるのはこのためです。この操作では最初のy=x-1という直線は出てきませんので、関係のない答えも出てしまいます。

これを円の方程式ではなく直線の方程式に代入した場合は、交点が１つになるため、答えも一つに定まります。

それぞれのグラフを書いてみると、イメージがわくと思います。

お礼

早速ありがとうございます
なんとなくイメージはわいたんのですが、更に疑問が産まれてしまいました。例えば両方が一次の方程式であれば、一つの式から出た答えを与えられた二つの式のどちらに代入しても答えが（Ｙ＝Ｙとかになるときもありますが）一つに決まるのに、二次方程式と一次方程式の連立だとどうして最初に出た答えを円の式に代入すると四つの解になり、直線の式に代入すると二つ解しかでないのでしょう？

回答No.1

exodus55

こんばんわ。

これは図を書けば分かります。X=-1,2の点をX軸上にとり、そこから上下に伸ばしてみてください。そうすると二箇所、円にぶつかりますね。xについて2点、それぞれに2点、合計4点です。

どうでしょうか。

ちなみに累乗は、Xのn乗だったら「X^n」と書きます。

お礼

ありがとうございます。
なんとなくイメージはわいたんのですが、更に疑問が産まれてしまいました。例えば両方が一次の方程式であれば、一つの式から出た答えを与えられた二つの式のどちらに代入しても答えが（Ｙ＝Ｙとかになるときもありますが）一つに決まるのに、二次方程式と一次方程式の連立だとどうして最初に出た答えを円の式に代入すると四つの解になり、直線の式に代入すると二つ解しかでないのでしょう？